Расчётно-проектировочная работа № 5

«Определение перемещений при изгибе и решение статически неопределимой задачи»

Пример № 20. Для балки, нагруженной внешними нагрузками кН, и кН/м, определить прогиб и угол поворота сечения D. Длина участков = 0, 4 м, b = 1, 2 м, с = 0, 8 м, в соответствии с рисунком 6.2 а

 

Ход решения

1. Определяем реакции опор от действия внешних нагрузок.

. Отсюда

кН

. Отсюда

Рисунок 6.2

кН

Проверка

2. Строим эпюры поперечной силы - и изгибающего момента - от действия внешних нагрузок.

Для участка АВ кН – Const.

- уравнение прямой

Для участка BD

- уравнение прямой

- уравнение квадратной параболы.

Определяем экстремальное значение изгибающего момента

Отсюда м

 

, выпуклость эпюры изгибающего момента вверх.

Для участка СD кН - Const - уравнение прямой

По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента от действия внешних нагрузок, в соответствии с рисунком 6.2 б.

3. Определяем опасное сечение по максимальному изгибающему моменту. Опасное сечение при м с .

4. Составляем условие прочности

Определяем из условия прочности осевой момент сопротивления

По сортаменту подбираем двутавр № 16 с и . Проверка МПа, что больше МПа на 2, 68 %.

Это меньше 5 %.

5. Определяем прогиб сечения D.

а) Для этого составляем расчётную схему балки без внешних нагрузок и прикладываем в точке D единичную сосредоточенную силу F⁰ = 1 в направлении предполагаемого прогиба, в соответствии с рисунком 6.2 в.

б) Определяем реакции опор от действия F⁰ = 1.

. Отсюда

. Отсюда

Проверка

в) Составляем уравнения изгибающих моментов от действия единичной силы по соответствующим участкам.

Для участка АВ

Для участка ВD

Для участка СD

г) Составляем уравнение интеграла Максвелла-Мора для определения прогиба.

м = 5, 0 мм, что меньше допускаемого прогиба мм, где - пролет балки.

Вывод: жёсткость балки обеспечена.

Для упрощения расчётов интегралы берутся по участкам

,

,

.

6. Определяем угол поворота сечения D

а) Для этого к расчётной схеме балки прикладываем в сечении D единичный сосредоточенный момент М⁰ = 1 в направлении предполагаемого угла поворота сечения D, в соответствии с рисунком 6.2 г

б) Определяем реакции опор от действия М⁰ = 1

Отсюда

Отсюда

Проверка

в) Составляем уравнения изгибающих моментов от действия единичного момента по соответствующим участкам.

Для участка АВ ,

для участка ВD ,

для участка СD .

г) Составляем уравнение интеграла Максвелла-Мора для определения угла поворота сечения D

,

где ,

,

.

Знаки плюс в ответах показывают, что направления прогиба и угла поворота сечения D предположены верно.

 

Пример 21. Для статически неопределимой балки, нагруженной внешними нагрузками F = 5 кН, и q = 20 кН/м, раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры внутренних силовых факторов и подобрать сечение двутавра. Длина участка b = 1, 2 м, в соответствии с рисунком 6.3 а.

Ход решения.

1.Составляем уравнения равновесия статики.

Отсюда (1)

(2)

(3)

2. Определяем степень статистической неопределимости

- система один раз статически неопределима,

где - число неизвестных реакций опор;

- число уравнений равновесия статики.

3. Составляем основную систему в соответствии с рисунком 6.2 б.

Для этого в статически неопределимой балке отбрасываем опору D с «лишней» реакцией

4. Составляем эквивалентную систему в соответствии с рисунком 6.2 в.

Для этого к основной системе в сечении D прикладываем «лишнюю» реакцию без опоры D

5. Составляем каноническое уравнение метода сил: перемещение (прогиб) сечения D в направлении лишней реакции равно нулю

6. Строим эпюры изгибающих моментов от действия внешних нагрузок, приложенных к эквивалентной системе, по методу расслоения эпюр (принцип независимости действия сил), в соответствии с рисунками 6.3 г, д, е.

7. Строим эпюру изгибающего момента от единичной сосредоточенной силы Х₁⁰ = 1, приложенной к эквивалентной системе в направлении «лишней» реакции , в соответствии с рисунком 6.3 ж.

8. Определяем коэффициенты канонического уравнения по формуле Верещагина

где - площади эпюр изгибающих моментов от внешних и единичной нагрузок по участкам;

- ординаты эпюр изгибающего момента от единичной силы Х₁⁰ = 1, взятые под центром тяжести эпюр изгибающего момента от внешних и единичных нагрузок;

- жёсткость балки при изгибе.

- перемещение точки приложения ''лишней'' реакции в направлении её действия от действия внешних нагрузок;

м³ - перемещение точки приложения лишней реакции Х₁ от единичной силы = 1 в направлении действия «лишней» реакции

Получаем Отсюда кН

9. Определяем оставшиеся реакции опор из уравнений равновесия статики.

Из (3) 11, 36 кН

Из (2) кН

Знаки плюс у всех реакций показывают, что их направление выбрано верно.

Проверка.

.

10. Строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента для статически неопределимой системы.

Для участка АВ - уравнение прямой

- уравнение квадратной параболы

 

Рисунок 6.3

Определяем экстремальное значение М_Х Отсюда м

, выпуклость эпюры М_Х вверх.

Для участка DC кН – Const.

- уравнении е прямой

Для участка СВ кН – Const.

- уравнение прямой

 

По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента, в соответствии с рисунком 6.3 з.

11. Определяем опасное сечение по максимальному изгибающему моменту. Опасное сечение D с .

12. Из условия прочности определяем осевой момент сопротивления

По сортаменту подбирается только швеллер № 10 с , что на 39, 6% больше требуемой величины.

 

Вопросы и ответы для самоконтроля

1. Что называется прогибом сечения?

Перемещение центра тяжести сечения перпендикулярно первоначальному положению оси балки называется прогибом сечения.

2. Что называется углом поворота сечения?

Поворот поперечного сечения относительно первоначального положения называется углом поворота сечения.

3. Что называется упругой линии балки?

Изогнутая ось балки в пределах упругих деформаций называется упругой линией или линий прогибов.

4. Дифференциальная зависимость между углом поворота и прогибом сечения.

. Угол поворота в любом сечении равен первой производной от уравнения изогнутой оси балки в этом сечении.

5. Формула Максвелла-Мора для определения перемещения

. Перемещение любого сечения равно алгебраической сумме интегралов произведений уравнений изгибающих моментов от внешних нагрузок на уравнения изгибающих моментов от единичной нагрузки по всем участкам балки, деленных на жесткость балки при изгибе.

6. Формула Верещагина для определения перемещений.

. Перемещение любого сечения равно алгебраической сумме по всем участкам произведений площадей эпюр изгибающих моментов от внешних нагрузок на ординаты эпюр изгибающих моментов от единичных нагрузок, взятых под центром тяжести эпюр изгибающих моментов от внешних нагрузок, деленных на жесткость балки при изгибе.

7. Что такое ?

Перемещение точки приложения «лишней» реакции в направлении ее действия от действия системы внешних сил.

8. Что такое ?

Перемещение точки приложения единичной обобщенной нагрузки от ее

действия в направлении действия «лишней» реакции .