Расчётно-проектировочная работа № 6

«Расчёты на устойчивость продольно сжатых стержней»

Пример 22. Для стойки из четырех уголков № 7, 5/5, 0× 0, 5 и четырех пластин размерами 20х1, 0 см, жёстко защемлённой нижним концом, из расчёта на устойчивость определить допускаемую сжимающую нагрузку и коэффициент запаса устойчивости Материал конструкционная сталь марки Ст.3, модуль номаль

ной упругости , допускаемое напряжение на сжатие , предел пропорциональности . Длина стойки . Концы стойки имеют одинаковый способ их закрепления в обоих главных плоскостях сечения, в соответствии с рисунком 7.4

Ход решения.

1. Определяем геометрическую гибкость стойки

,

где - коэффициент приведения длины стойки, жёстко защемлённой одним концом;

n = 0, 5 – число полуволн синусоиды изогнутой оси стойки, потерявшей устойчивость;

- минимальный радиус инерции сечения в плоскости с минимальной жесткостью стойки при изгибе, в которой происходит потеря устойчивости. Определение геометрических характеристик сечения рассмотрено в примере 2

2. Определяем предельную гибкость для Ст3

,

3. Определяем критическую силу и критическое напряжение. При геометрической гибкости стойки для их расчёта принимаются формулы Л.Эйлера

МПа

кН

4. Определяем коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие для Ст.3 при . По таблице коэффициента находим

Действительное значение

5. Из условия устойчивости определяем допускаемую нагрузку кН

6. Определяем коэффициент запаса устойчивости

1712, 8/755, 3 =2, 26, что в пределах допускаемой величины

Примечания: 1. Если геометрическая гибкость будет больше табличной величины, то расчётную длину стойки в дальнейших расчётах уменьшить так, чтобы .

2. Если геометрическая гибкость , то критическое напряжение определяется по формуле Ясинского , а , где а = 311 МПа, b = 11, 4 МПа – коэффициенты для Ст 3.

Если , то МПа,

 

Пример 23. Для стойки длиной м, нагруженной сжимающей силой F ₁ = 200 кН, из расчёта на устойчивость определить размеры прямоугольного поперечного сечения при h =2 b. Материал конструкционная сталь марки Ст3, основное допускаемое напряжение на сжатие МПа. Способ закрепления концов стойки в обоих главных плоскостях считать одинаковым, в соответствии с рисунком 7.5.

 

Ход решения

1.Записываем условие устойчивости или Так как в условии устойчивости имеется два неизвестных, то задача решается методом последовательного приближения, при котором задаются одним из неизвестных. В данном варианте . Поэтому выгодно задаваться его величиной.

 

В первом приближении задаёмся . Тогда из условия устойчивости в первом приближении

.

м.

3. Для полученных размеров определяем геометрическую гибкость стержня

где - коэффициент приведения длины стойки с шарнирно подвижной верхней и жестко защемленной нижней опорами;

- минимальный радиус инерции сечения.

4. Определяем коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие для стойки из Ст.3 при . По таблице находим

Действительное значение

Коэффициент заданный и действительный тождественно не равны.

5. Во втором приближении задаётся Тогда м, м.

Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения для стойки из Ст.3 при .

 

Действительное значение

Коэффициент заданный и действительный тождественно не равны.

6. В третьем приближении задаёмся

Тогда м, м,

Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения

Действительное значение

Коэффициенты заданный и действительный практически равны.

Для проверки правильности расчётов из условия устойчивости определяем допускаемую сжимающую нагрузку.

кН, что больше заданной силы на . Это меньше точности расчётов ±5%.

Вопросы и ответы для самоконтроля

 

1. Что называется устойчивостью?

Способность сжатого стержня сохранять приданную ему при изготовлении первоначальную форму устойчивого равновесия называется устойчивостью.

2. Что называется потерей устойчивости?

Потеря первоначальной формы устойчивого равновесия под действием продольной сжимающей силы называется потерей устойчивости.

3. Какая потеря устойчивости называется местной?

Потеря устойчивости одним из элементов конструкции называется местной потерей устойчивости.

4. Какая потеря устойчивости называется общей?

Потеря устойчивости несколькими или всеми элементами конструкции называется общей потерей устойчивости.

5. Какая сила называется критической?

Минимальное значение продольной сжимающей силы, при котором происходит потеря первоначальной формы устойчивого равновесия сжатого стержня, называется критической силой.

6. Формула Л. Эйлера для определения критической силы.

. Критическая сила прямо пропорциональна изгибной жесткости и обратно пропорциональна квадрату приведенной длинны стержня.

6. Формула Л. Эйлера для определения критического напряжения.

. Критическое напряжение прямо пропорционально модулю

нормальной упругости материала и обратно пропорционально квадрату геометрической гибкости стержня.

8. При каких напряжениях справедливы формулы Л. Эйлера для определения критических силы и напряжения?

Формулы Л. Эйлера для определения критических силы и напряжения справедливы при напряжениях от 0 до предела пропорциональности .

9. Формулы Ф.С. Ясинского для определения критических напряжений.

Для пластических материалов для хрупких

10. При каких напряжениях справедливы формулы Ф.С. Ясинского?

Формулы Ф.С. Ясинского справедливы при критических напряжениях от предела пропорциональности до предела текучести для пластичных материалов и до предела прочности для хрупких материалов.

11. Что показывает коэффициент приведения длины стержня.

. Коэффициент проведения длины стержня, показывает во сколько раз необходимо изменить длину шарнирно закрепленного по концам стержня, чтобы критическая сила для него была равна критической силе для стержня при заданных способах его закрепления.

12. Что характеризует геометрическая гибкость стержня?

 

. Геометрическая гибкость стержня характеризует способность стержня к потере устойчивости в зависимости от соотношения его продольных и поперечных размеров и способа закрепления концов.

13. Какая гибкость называется первой предельной гибкостью?

. Геометрическая гибкость стержня, при которой

14. Какая гибкость называется второй предельной гибкостью?

. Геометрическая гибкость стержня, при которой

15. Какие стержни называются стержнями малой гибкости?

Стержни у которых геометрическая гибкость

16. Какие стержни называются стержнями средней гибкости?

Стержни у которых геометрическая гибкость .

17. Какие стержни называются стержнями большой гибкости?

Стержни у которых геометрическая гибкость

18. Формулы для определения коэффициента запаса устойчивости

19. Что показывает коэффициент запаса устойчивости?

Коэффициент запаса устойчивости показывает во сколько раз значения сжимающих силы и напряжения меньше их критических значений.

20. Что показывает коэффициент снижения основного допускаемого на- пряжения?

Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения показывает какую часть составляет допускаемое напряжение на устойчивость от основного допускаемого напряжения на сжатие.

21. Как записывается условие устойчивости?

. Сжимающие напряжения прямо пропорциональное продольной сжимающей силе и обратно пропорциональное площади поперечного сечения стержня не должно превышать допускаемого напряжения на устойчивость.

22. Решение задач по условию устойчивости.

Проектировочная задача определения размеров сечения .

Проверочная задача определения допускаемой величины продольной сжимающей силы .

Проверочная задача проверки устойчивости и определения коэффициента запаса устойчивости , или .