Устойчивость продольно сжатых стержней

Основные понятия и формулы

Выполнение условий прочности и жесткости продольно сжатых стержней не всегда гарантирует их надежность при эксплуатации. Если на длинный стержень малого поперечного сечения действует центрально приложенная продольная сжимающая сила, то при малых ее значениях стержень испытывает состояние чистого сжатия и сохраняет прямолинейную форму устойчивого равновесия. Способность сжатого стержня сохранять приданную ему при изготовлении первоначальную форму устойчивого равновесия называется устойчивостью. Рисунок 7. а

При увеличении сжимающей силы до некоторого значения стержень изогнется и прямолинейная форма равновесия переходит в новую криволинейную форму равновесия.

Потеря первоначальной формы устойчивого равновесия под действием продольной сжимающей нагрузки называется потерей устойчивости. Рисунок 7.1 б. При потере устойчивости стержень изгибается по уравнению синусоиды . Минимальное значение продольной сжимающей силы, при котором

происходит потеря первоначальной формы устойчивого равновесия сжатого стержня, называется критической силой. Достижение сжимающей силы критического значения приводит к разрушению элемента или конструкции в целом. Происходит оно внезапно от изгиба при значениях сжимающих напряжений, при которых прочность элемента на чистое сжатие еще не исчерпана. Потеря устойчивости одним из элементов конструкции называется местной потерей устойчивости и не обязательно приводит к разрушению всей конструкции Потеря устойчивости несколькими или всеми элементами конструкции называется общей потерей устойчивости и, как правило, приводит к разрушению всей конструкции.

В пределах упругих деформаций величина критической силы определяется по формуле Л.Эйлера

где - коэффициент проведения длины стержня, показывает во сколько раз необходимо изменить длину шарнирно закрепленного по концам стержня, чтобы критическая сила для него была равна критической силе для стержня при заданных способах его закрепления.

число полуволн синусоиды изогнутой оси стержня, потерявшего устойчивость;

- приведенная длина стержня.

При этом в сечениях стержня действуют сжимающие критические напряжения, определяемые по формуле

где - геометрическая гибкость стержня, характеризует способность стержня к потере устойчивости в зависимости от соотношения его продольных и поперечных размеров и способа закрепления концов;

- радиус инерции сечения стержня;

А - площадь поперечного сечения стержня.

С увеличением гибкости увеличивается способность стержня к потере устойчивости.

Величина критической силы и критического напряжения в пределах упругих деформаций зависит от изгибной жесткости стержня, его длины и способа закрепления концов. Влияние способа закрепления концов стержней на величину коэффициента приведения длины стержня показано на рисунке 7.2.

Рисунок 7.2

Если стержень имеет одинаковый способ закрепления концов в обеих главных плоскостях, то он теряет устойчивость в плоскости минимальной жесткости с и тогда .

Формулы Л.Эйлера для и справедливы при величине критических напряжений до предела пропорциональности . Пределы ее применимости по гибкости стержней , т.е. для стержней большой гибкости. Рисунок 7.3

- минимальная гибкость стержня, при которой = , называется первой предельной гибкостью.

За пределом пропорциональности при упруго-пластических деформациях материалов критические напряжения определяются по эмпирическим формулам Ф.С. Ясинского. Для пластичных материалов = , для хрупких = ,

где - постоянные коэффициенты, определяемые экспериментально для материалов.

Пределы применимости формулы Ф.С.Ясинского для пластичных материалов от предела пропорциональности до предела текучести от до , т.е. для стержней средней гибкости.

- вторая предельная гибкость.

Рисунок 7.3

Для стержней малой гибкости при критическое напряжение равно пределу текучести для пластичных материалов и пределу прочности для хрупких материалов. Поэтому стержни малой гибкости рассчитываются не на устойчивость, а на прочность при сжатии.

Величина критической силы для стержней средней и малой гибкости определяется по формуле .

Для обеспечения устойчивости необходимо чтобы значение продольной сжимающей силы было меньше критической . Величина , показывающая во сколько раз действующая сжимающая сила меньше критической, называется коэффициентом запаса устойчивости. Коэффициент запаса устойчивости принимается: - для стоек из сталей; - для стоек из древесины; - для стоек из чугуна.

Коэффициент запаса устойчивости записывается также через напряжения Сжимающее напряжение при расчетах на устойчивость не должно превышать величины допускаемого напряжения при расчетах на устойчивость .

Величина допускаемого напряжения при расчетах на устойчивость выражается через допускаемое напряжение на сжатие. ,

где - коэффициент снижения основного допускаемого напряжения на сжатие.

Окончательно условие прочности при расчетах на устойчивость (условие устойчивости) записывается формулой .

По условию устойчивости решаются 3 задачи.

Проектировочная задача определения размеров сечения .

Проверочная задача определения допускаемой величины продольной сжимающей силы .

Проверочная задача проверки устойчивости и определения коэффициента запаса устойчивости , или .

При этом расчеты на устойчивость проводятся для стоек из конструкционных материалов.