Расчетно-проектировочная работа № 4

«Расчеты на прочность при сложном сопротивлении»

 

Пример 16. Для балки из двух неравнобоких уголков № 7, 5/5 0, 5, нагруженной внешними нагрузками F = 5 кН и М = 2 , определить коэффициент запаса прочности. Длина участков а = 0, 4 м, b = 1, 2 м, с = 0, 8 м, в соответствии с рисунком 5.3 а.

Ход решения.

1. Определяем реакции опор.

а) В вертикальной плоскости. Рисунок 5.3 б.

Отсюда

. Отсюда

. Проверка

Рисунок 5.3

 

б) В горизонтальной плоскости. Рисунок 5.3 в

Отсюда

. Отсюда

Проверка = 0

2. Строим эпюры внутренних силовых факторов

а) В вертикальной плоскости в соответствии с рисунком 5.3 б.

Для участка АВ

- уравнение прямой

Для участка ВС .

.

Для участка DС .

.

б) В горизонтальной плоскости в соответствии с рисунком 5.3 в.

Для участка АВ

- уравнение прямой

Для участка ВС .

- уравнение прямой

Для участка DС .

- уравнение прямой

По найденным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в плоскостях их действия. При этом положительные их значения откладываются вверх и от себя, отрицательные вниз и на себя в вертикальной и горизонтальной плоскостях, в соответствии с рисунками 5.3 б, в.

3. Определяем опасное сечение. Опасное сечение С с , , и находится в состоянии косого изгиба.

4. Определяем опасные точки опасного сечения. Для этого строим эпюры нормальных напряжений от действия и положение нейтральной линии, в соответствии с рисунком 5.3 г. Нормальные напряжения по высоте и ширине сечения от изгибающих моментов распределяются по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимальной величины в поверхностных слоях сечения. Знаки напряжений плюс в растянутой части сечения, минус – в сжатой.

Из построенных эпюр нормальных напряжений от видно, что в точке 1 сечения они, суммируясь по величине с учетом их знака, достигают максимального значения. Следовательно, эта точка опасная по максимальному растягивающему напряжению. Положение второй опасной точки определяем построением нейтральной линии.

Положение нейтральной линии эпюры результирующих напряжений определяется из его уравнения . Отсюда

. Тогда и откладывается по часовой стрелке от оси у,

где , = - осевые моменты инерции сечения относительно главных осей сечения х, у.

Геометрические характеристики уголков взяты из сортамента неравнобоких уголков. По полученному углу строим положение нейтральной линии и эпюру результирующих нормальных напряжений, из которой устанавливаем положение опасных точек сечения: точка 1 в растянутой части, точка 2 в сжатой части сечения.

5. По условию прочности при косом изгибе определяем результирующие нормальные напряжения .

В точке 1 см, см координаты точки

Знаки напряжений в точках сечения от и определяем по эпюрам напряжений от действия и .

В точке 2 х ₂ = 0, у ₂ = 5, 11 см

В точке 3 х ₃ = 5 см, у ₃ = -2, 39 см

6. Определяем коэффициент запаса прочности.

, что меньше допускаемого значения . Вывод: запас прочности недостаточен.

 

Пример 17. Для балки прямоугольного поперечного сечения размерами см, нагруженной внешней силой F = 5 кН, определить коэффициент запаса прочности. Длина участков а = 0, 2 м, b = 0, 6 м, с = 0, 4 м, в соответствии с рисунком 5.4 а.

 

Ход решения

1. Определяем реакции опор. Так как балка консольная, то реакции можно не определять, а построение эпюр внутренних силовых факторов вести со свободного конца консоли.

2. Стоим эпюры внутренних силовых факторов.

а) В вертикальной плоскости. Рисунок 5.4 б

- уравнение прямой

б) В горизонтальной плоскости. Рисунок 5.4 в

.

- уравнение прямой

По найденным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в плоскостях их действия в соответствии с рисунками 5.4 б, в.

Рисунок 5.4

 

3. Определяем опасное сечение. Опасное сечение А в жёсткой опоре с и находится в состоянии косого изгиба.

4. Определяем опасные точки опасного сечения. Для этого строим эпюры нормальных напряжений от и , в соответствии с рисунком 5.4 г. По построенным эпюрам напряжений устанавливаем опасные точки: точка 1 в растянутой, точка 2 в сжатых частях сечения.

5. По условию прочности при косом изгибе определяем результирующие напряжения.

В точке 1 х ₁ = 2, 5 см у ₁ = 4, 5 см координаты точки

В точке 2 ,

где , - осевые моменты инерции прямоугольного сечения относительно главных осей х, у. Так как сечение симметрично относительно обоих осей х, у, то и результирующие напряжения в точках 1 и 2 равны по величине.

Определяем положение нейтральной линии

. Отсюда =

. Тогда - угол наклона нейтральной линии. Знак минус показывает, что откладывается от оси у сечения противоположно силовой линии.

6. Определяем коэффициент запаса прочности

, что в пределах допускаемой величины

Вопросы и ответы для самоконтроля

1. Какое состояние называется сложным сопротивлением?

Состояние стержня, при котором в его сечениях действует одновременно все или несколько внутренних силовых факторов, называется сложным сопротивлением.

2. Какое состояние называется косым изгибом с растяжением-сжатием?

Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют поперечные силы , , изгибающие моменты , и продольная сила , а крутящий момент , называется косым изгибом с растяжением-сжатием.

3. Принцип независимости действия сил.

Результирующая величина нормальных, касательных напряжений и перемещений определяется как их алгебраическая или геометрическая сумма.

4. Какая линия называется нейтральной?

Линия сечения, в которой нормальные напряжения равны нулю, называется нейтральной линией.

5. Условия прочности по III и IV теориям прочности.

По III теории прочности

По IV теории прочности

6. Какое состояние называется косым изгибом?

Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют поперечные силы , и изгибающие моменты , , называется косым изгибом.

7. Формула для определения результирующего нормального напряжения при косом изгибе.

Результирующее нормальное напряжение равно алгебраической сумме нормальных напряжений от изгибающих моментов , .

8. Закон распределения результирующих нормальных напряжений при косом изгибе.

Результирующие нормальные напряжения распределяются по сечению по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимального значения в наиболее удаленных точках поверхностных слоев.

9. Чему равно результирующее касательное напряжение при косом изгибе?

Результирующее касательное напряжение равно геометрической сумме касательных напряжений от поперечных сил , .

10. Закон распределения результирующих касательных напряжений по сечению при косом изгибе.

Результирующие касательные напряжения распределяются по сечению по закону квадратной параболы от нуля в наиболее удаленных от нейтрального слоя поверхностных точках сечения до максимального значения в точках нейтрального слоя.

11. Уравнение нейтральной линии сечения при косом изгибе.

- уравнение прямой проходящей через начало координат сечения.

12. Условие прочности при косом изгибе.

. Максимальное результирующее нормальное напряжение не должно превышать величины допускаемого нормального напряжения.

13. Решение задач по условию прочности при косом изгибе.

Проектировочная задача определения размеров сечения решается методом подбора размеров сечения по заданному их соотношению с последующей проверкой по условию прочности

Проверочная задача определения допускаемой нагрузки решается также методом последовательного приближения.

Проверочная задача проверки прочности и определения действительного коэффициента запаса прочности решается по условию прочности , .

14. Как определяется положение нейтральной линии при косом изгибе?

- положение нейтральной линии определяется по углу ее наклона к вертикальной оси сечения у.

15. Условие жесткости при косом изгибе.

- максимальный прогиб сечения не должен превышать допускае- мой величины.

Внецентренное растяжение-сжатие. Основные понятия и формулы.

Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют продольная сила и изгибающие моменты , , называется внецентренным растяжением – сжатием. Рисунок 5.5 а

 

 

 

Рисунок 5.5

При этом , и по длине стержня величины постоянные, в соответствии с рисунком 5.5 б. В сечениях стержня будут действовать только результирующие нормальные напряжения , которые по сечению распределяются по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимальной величины в наиболее удаленных точках поверхностных слоев сечения, в соответствии с рисунком 5.5 в.

Условие прочности по любой теории прочности

 

 

Для сечений, имеющих хотя бы одну ось симметрии

Уравнение нейтральной линии - уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

Положение нейтральной линии определяется отрезками, отсекаемыми ею на главных осях сечения.

или ; ,

где , - координаты точки приложения внецентренной приложенной силы ; , - радиусы инерции сечения. Знак минус показывает, что отрезки и откладываются противоположно координатам , точки приложения силы .

Область около центра тяжести сечения, при приложении внутри которой сжимающей силы , все сечение испытывает действие только сжимающих результирующих нормальных напряжений, называется ядром сечения. Построение ядра сечения проводится по координатам точек приложения сжимающей силы при обкатывании нейтральной линии по внешнему контуру сечения в соответствии с рисунком 5.6

 

Рисунок 5.6

Для круглого сечения

при

Для прямоугольного сечения

при ,

 

при , ,

 

Пример 18. Для колонны из четырёх уголков № и четырех пластин размерами 20х1, 0 см, нагруженной внецентренно приложенной продольной силой F, определить её допускаемую величину при коэффициенте запаса прочности . Длина стойки , координаты точки приложения силы , в соответствии с рисунком 5.7 а

Ход решения

1. Строим эпюры внутренних силовых факторов, рассматривая отсеченную часть колонны со свободного конца, в соответствии с рисунком 5.7 б. , , . Таким образом, все внутренние силовые факторы по высоте колонны постоянны. Все сечения колонны находятся в состоянии внецентренного сжатия.

2. Определяем опасное сечение. Так как размеры поперечного сечения по высоте стойки постоянны, то все сечения равноопасны.

3. Определяем опасные точки сечений. Для этого строим эпюры нормальных напряжений от , в соответствии с рисунком 5.7 в. По полученным эпюрам видно положение опасных точек: точка 1 в сжатой и точка 2 в растянутой частях сечения.

4. Составляем условие прочности для точки 1 с максимальным результирующим сжимающим напряжением. Знаки напряжений в точке сечения от определяем по эпюрам напряжений.

или

Отсюда

,

где см, см координаты точки 1;

- допускаемое нормальное напряжение;

 

Рисунок 5.7

 

, - геометрические характеристики составного сечения (см. пример 2).

5. Строим эпюру результирующих напряжений, в соответствии с рисунком 5.7 в.

Для этого определяем положение нейтральной линии по отрезкам, отсекаемым ею на осях х, у.

Отрезок .

Отрезок .

Знак минус в ответах указывает, что отрезки и откладываются противоположно координатам и .

По найденной нагрузке определяем напряжения для точки 1

От

От

От

Тогда результирующие напряжения:

- в точке 1

- в точке 2

По найденным напряжениям строим эпюру результирующих нормальных напряжений.

6. Строим ядро сечения, обкатывая нейтральную линию по внешнему контуру сечения.

При

= 2, 99 см

При

По найденным отрезкам строим ядро сечения в соответствии с рисунком 5.7 в.

 

 

Вопросы и ответы для самоконтроля

 

1. Какое состояние стержня называется внецентренным растяжением – сжатием?

Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют продольная сила и изгибающие моменты , называется внецентренным растяжением – сжатием.

2. Чему равно результирующее нормальное напряжение при внецентренном растяжении-сжатии?

. Результирующее нормальное напряжение равно алгебраической сумме нормальных напряжений от продольной силы и изгибающих моментов .

3. Закон распределения по сечению результирующих нормальных напряжений при внецентренном растяжении-сжатии.

Результирующие нормальные напряжения по сечению распределяются по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимальной величины в наиболее удаленных точках поверхностных слоев сечения.

4. Чему равны результирующие касательные напряжения при внецентренном растяжении-сжатии?

Результирующие касательные напряжения при внецентренном растяжении-сжатии равны нулю, так как

5.Уравнение нейтральной линии сечения при внецентренном растяжении- сжатии

- уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

6. Уравнение нейтральной линии сечения в отрезках.

; - где знак минус показывает, что отрезки и откладываются противоположно координатам , точки приложения силы .

7. Условие прочности при внецентренном растяжении-сжатии

. Результирующее максимальное нормальное напряжение, равное алгебраической сумме нормальных напряжений от , не должно превышать величины допускаемого нормального напряжения.

8. Решение задач по условию прочности при внецентренном растяжении-сжатии.

Проектировочная задача определения размеров сечения решается методом подбора размеров с последующей проверкой по условию прочности

.

Проверочная задача определение допускаемой нагрузки

Проверочная задача проверки прочности и определения действительного коэффициента запаса прочности ,

9. Что называется ядром сечения?

Область около центра тяжести сечения, при приложении внутри которой сжимающей силы , все сечение испытывает действие только сжимающих результирующих нормальных напряжений, называется ядром сечения.

 

Совместный изгиб с кручением. Основные понятия и формулы.

 

Состояние стержня, при котором в его сечениях действуют поперечные силы , , изгибающие моменты , и крутящий момент , называется совместным изгибом с кручением. Для валов круглого и кольцевого сечения изгибающие моменты в вертикальной и горизонтальной плоскостях можно заменить результирующим изгибающим моментом , в соответствии с рисунком 5.8 а

Рисунок 5.8

Результирующий изгибающий момент вызывает в сечении действие результирующих нормальных напряжений, которые по сечению распределяются в плоскости его действия по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимальной величины в точках поверхностного слоя. Их величина определяется по формуле

. Максимальная величина их .

Нейтральный слой сечения перпендикулярен плоскости действия результирующего изгибающего момента.

Крутящий момент вызывает в сечении действие касательных напряжений, которые по сечению распределяются по закону прямой от нуля на оси кручения до максимальной величины в точках поверхностного слоя

Максимальная их величина .

Как правило, касательные напряжения от действия поперечных сил , значительно меньше касательных напряжений от крутящего момента , и достигают максимального значения в слоях на оси вала. Поэтому их действие не учитывают. В этом случае в опасных точках поверхностных слоев сечения материал испытывает плоское напряженное состояние в соответствии с рисунком 5.8 б и условие прочности записывается по эквивалентным напряжениям

где - расчетный момент по III теории прочности;

- расчетный момент по IV теории прочности.

По условию прочности решаются три задачи.

Проектировочная задача определения размеров сечения

Проверочная задача определения допускаемого расчетного момента

Проверочная задача проверки прочности и определения коэффициента запаса прочности .

При необходимости проводится проверка прочности с учетом касательных напряжений от действия поперечных сил , .

По III теории прочности

По IV теории прочности

 

Пример 19. Для вала, нагруженного внешними силами и , определить размеры и составить эскиз опасного сечения вала. Передаваемая мощность 5, 0 кВт при 500 об/мин. Длина участков а = 150 мм, b = =300 мм, с = 200 мм, в соответствии с рисунком 5.9 а. Диаметры зубчатых колёс D ₁ = 100 мм, D ₂ = 200 мм, радиус галтели r = 1, 0 мм. Материал сталь 45 нормализованная с допускаемым напряжением = 65 МПа,

Ход решения

Расчет вала по условиям статической прочности

1. Определяем исходные данные

Передаваемый крутящий момент

Отсюда

Для 1-го зубчатого колеса ,

 

,

Для 2-го зубчатого колеса ,

кН,

.

2. Составляем расчётную схему вала, к которой прикладываем все внешние нагрузки, в соответствии с рисунком 5.9 б.

3. Определяем реакции опор.

а) В вертикальной плоскости. Рисунок 5.9 в.

Отсюда

Отсюда

Проверка

б) В горизонтальной плоскости. Рисунок 5.9 г

Отсюда

 

Отсюда

кН

Проверка

4. Строим эпюры внутренних силовых факторов

а) По найденным реакциям и внешним нагрузкам строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, в соответствии с рисунками 5.9. в, г.

б) Строим эпюру крутящего момента в соответствии с рисунком 5.9 д. На участке ВС - Const.

в) Строим эпюру продольной силы, в соответствии с рисунком 5.9 е.

Отсюда кН

На участках АВ и ВС кН – Const. На участке CD N_Z = 0.

Следовательно, вал испытывает состояние общего случая сложного сопротивления, когда в его сечениях действуют все внутренние силовые факторы.

г) Строим эпюру расчётного момента по III теории прочности, в соответствии с рисунком 5.9 ж.

Сечение А

Сечение В в конце участка АВ кН·м

Сечение В в начале участка ВС

Сечение С в конце участка ВС

Сечение С в начале участка СD

5. Определяем опасное сечение. Опасное сечение В с

6. По условию прочности по Ш теории прочности определяем диаметры

вала для опасного сечения В с

Отсюда м ³

 

 

Для круглого сечения Отсюда

=3, 58·10^-2 м. По таблице стандартных диаметров принимаем = 36 мм

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒ Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 1796. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы! Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм... Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени... ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил... Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах... Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов... Йодометрия. Характеристика метода Метод йодометрии основан на ОВ-реакциях, связанных с превращением I2 в ионы I- и обратно... Броматометрия и бромометрия Броматометрический метод основан на окислении вос­становителей броматом калия в кислой среде... Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл... Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура... Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...