Состояние кручения валов круглого сечения

Основные понятия и формулы.

 

Состояние стержня, при котором в его сечениях действует только крутящий момент, называется кручением. Рисунок 4.6. При кручении происходит чистый сдвиг поперечных сечений при их повороте относительно продольной оси вала z на величину абсолютного сдвига . Угол поворота сечений относительно друг друга называется абсолютным углом закручивания. Мерой деформации сдвига является относительный сдвиг , который по сечению распределяется по закону прямой от нуля на оси кручения до максимального значения в точках поверхностных слоев.

Рисунок 4.6

На основании закона Гука в поперечных сечениях действуют касательные напряжения , которые по сечению распределяются по закону прямой от нуля на оси кручения до максимального значения в точках поверхностных слоев. Величина называется относительным углом закручивания, величина - относительным сдвигом.

модуль упругости при сдвиге является характеристикой упругих свойств материала и характеризует способность материала сопротивляться упругим деформациям при сдвиге. Максимальное касательное напряжение определяется по формуле ,

где - полярный момент сопротивления, характеризует способность точек поверхностного слоя сечения сопротивляться упругим деформациям сдвига при кручении.

Величина абсолютного угла закручивания определяется по формуле .

где - жесткость вала при кручении, характеризует способность сечения вала сопротивляться упругим деформациям сдвига при кручении.

Для одного участка вала с постоянными величинами крутящего момента и площади поперечного сечения абсолютный угол закручивания . Для нескольких участков .

Величины полярных моментов инерции и полярных моментов сопротивления определяются по формулам

, - для вала круглого сечения;

- для вала кольцевого сечения.

Условие прочности записывается формулой .

где - допускаемое касательное напряжение;

- опасное касательное напряжение;

- коэффициент запаса прочности по касательному напряжению, показывает во сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного.

По условию прочности решаются 3 задачи.

Проектировочная задача определения размеров поперечного сечения вала

Проверочная задача определения допускаемого крутящего момента

Проверочная задача определения максимальных напряжений и коэффициента запаса прочности и .

Если крутящий момент задается мощностью в лошадиных силах (л.с.) или киловаттах (кВт) и числом оборотов вала в минуту, то крутящий момент определяется по формулам

или

Тогда условие прочности записывается формулой

И из условия прочности решаются еще две задачи.

Определение требуемой мощности электродвигателя

Определение необходимого числа оборотов вала электродвигателя

Условие жесткости вала с одним участком записывается формулой

. По условию жесткости решаются 4 задачи.

Проектировочная задача

Проверочные задачи ,

Проектировочная задача определения предельной длины вала

.

Для валов прямоугольного поперечного сечения напряжения направлены по контуру сечения и достигают максимального значения в точках 1, 2 поверхностных слоев в соответствии с рисунком 4.7

 

Абсолютный угол закручивания определяется по формуле .

Условия прочности и жесткости для валов прямоугольного сечения записываются аналогично , ,

где - геометричес-кие характеристики прямоугольного сечения, соответствующие полярному моменту сопротивления и полярному моменту инерции.

 

 

Пример № 13. Для стального вала нагруженного внешними крутящими моментами построить эпюру крутящего момента, определить размеры сечений по участкам и построить эпюру угла закручивания. Допускаемое напряжение , модуль упругости при сдвиге , . Длина участков а = 1 м, b = 3 м, с = 2 м, в соответствии с рисунком 4.8 а.

Ход решения.

 

1. Определяем реактивный крутящий момент. Так как на вал действует система крутящих моментов, то в жёстко защемлённой опоре возникает только реактивный крутящий момент. Для его определения составляем сумму моментов относительно продольной оси вала z.

Отсюда

2. Строим эпюру крутящего момента. Построение её рекомендуется начинать от жёстко защемлённой опоры.

Для участка DC

Для участка СВ .

Для участка ВА .

По найденным значениям строим эпюру крутящего момента по всем участкам вала в соответствии с рисунком 4.8 б.

 

Рисунок 4.8

 

3. Определяем опасные сечения вала по участкам.

Так как на каждом участке крутящие моменты постоянны, то все сечения каждого участка равноопасны.

Для участка DC , для CD , для ВА .

4. Определяем опасные точки опасных сечений. При кручении в поперечных сечениях вала действуют касательные напряжения, закон распределения которых показан на рисунке 4.8 д. Из построенных эпюр видно, что опасными во всех сечениях являются точки поверхностных слоёв.

5. Определяем размеры сечений вала по участкам из условия прочности при кручении.

Для участка DC определяем размер квадратного сечения. . Отсюда

.

Для участка СВ определяем размеры круглого сечения

Отсюда

Для участка ВА определяем размеры кольцевого сечения

Отсюда

,

Строим эпюру касательных напряжений по длине вала и проводим проверку прочности для определённых размеров сечений вала.

Для участка DC - Const

Для участка СВ - Const

Для участка ВА - Const

Так как напряжения в опасных точках сечений равны допускаемым, то размеры сечений определены верно. По найденным напряжениям строим их эпюры в опасных сечениях и по длине вала, в соответствии с рисунком 4.8. в, д

5. По условию жёсткости при кручении определяем углы закручивания вала по участкам и строим их эпюру. Так как крутящий момент и жесткость вала при кручении на всех участках величины постоянные, то угол закручивания на каждом участке изменяется по закону прямой и определяется по формуле

Для участка DС

- уравнение прямой

рад.

где - полярный момент инерции для квадратного сечения.

Для участка СВ

- уравнение прямой

,

где - полярный момент инерции круглого сечения

Для участка ВА

- уравнение прямой рад

где см⁴ - полярный момент инерции кольцевого сечения

Определяем суммарные значения эпюры угла закручивания

Для сечения D Для сечения С

Для сечения В

Для сечения А

По найденным значениям строим эпюру угла закручивания по всем участкам вала в соответствии с рисунком 4.8 г.

 

Вопросы и ответы для самоконтроля

1. Какое состояние называется кручением?

Состояние стержня, при котором в его сечениях действует только крутящий момент , называется кручением.

2. Закон Гука при кручении.

. Касательные напряжения прямо пропорциональны относительному сдвигу.

3. Формула для определения касательных напряжений в любой точке вала круглого сечения.

. Касательное напряжение в любой точке вала круглого сечениия прямо пропорционально крутящему моменту и расстоянию от оси кручения до исследуемой точки и обратно пропорционально полярному моменту инерции сечения.

4. Закон распределения касательных напряжений по сечению вала круглого сечениия.

Касательные напряжения по сечению распределяются по закону прямой от нуля на оси кручения до максимального значения в точках поверхностного слоя.

5. Формула для определения максимального касательного напряжения.

. Максимальное касательное напряжение прямо пропорционально крутящему моменту и обратно пропорционально полярному моменту сопротивления.

6. Формула для определения абсолютного угла закручивания вала круглого сечения при постоянных и .

. Абсолютный угол закручивания прямо пропорционален крутящему моменту и длине вала и обратно пропорционален его жесткости при кручении.

7. Характеристикой какого свойства является G?

Модуль упругости при сдвиге G является характеристикой упругих свойств материала.

8. Что характеризует модуль упругости при сдвиге G?

Модуль упругости при сдвиге G характеризует способность материала сопротивляться упругим деформациям при сдвиге.

9. Что показывает жесткость вала при кручении?

Жесткость вала при кручении показывает способность сечения вала сопротивляться упругим деформациям сдвига при кручении.

10. Что показывает полярный момент сопротивления?

. Полярный момент сопротивления показывает способность точек поверхностных слоев сечения сопротивляться упругим деформациям сдвига при кручении.

11. Условие прочности при кручении.

. Максимальное действующее касательное напряжение, прямо пропорциональное крутящему моменту и обратно пропорциональное полярному моменту сопротивления, не должно превышать допускаемого касательного напряжения.

12. Какое напряжение называется допускаемым?

. Допускаемым называется напряжение, которое материал выдерживает длительное время без разрушения.

13. Что показывает коэффициент запаса прочности?

. Коэффициент запаса прочности показывает во сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного.

14. Какие задачи решаются по условию прочности?

Проектировочная задача определения размеров сечения

Проверочная задача определения допускаемого крутящего момента

Проверочная задача проверки прочности и определения коэффициента запаса прочности , .

15. Условие жесткости при кручении

. Максимальный абсолютный угол закручивания прямо пропорционален крутящему моменту и длине вала и обратно пропорционален его жесткости при кручении не должен превышать допускаемой величины .

16. Какие задачи решаются по условию жесткости?

Проектировочная задача определения размеров сечения.

Проверочная задача определения допускаемого крутящего момента.

Проверочная задача проверки жесткости

Проектировочная задача определения предельной длины вала .

 

Состояние чистого изгиба. Основные понятия и формулы

Состояние стержня, при котором в его сечениях действует только изгибающий момент или , называется чистым изгибом. При чистом изгибе происходит поворот сечений стержня относительно первоначального положения вокруг поперечной оси х или у. При этом верхние слои сечения испытывают растяжение, нижние – сжатие, в соответствии с рисунком 4.9

Мерой величины их деформации является относительная упругая деформация , которая по ширине слоя распределяется равномерно. Ось стержня изгибается по дуге, радиус кривизны которой определяется по формуле . На основании закона Гука в поперечных сечениях действуют нормальные напряжения , которые по сечению распределяются по закону прямой от нуля в нейтральном слое до максимального значения в точках поверхностных слоев. Слой сечения, в котором деформации растяжения-сжатия и напряжения равны нулю, называется нейтральным.

Рисунок 4.9

Максимальное нормальное напряжение определяется по формуле , где осевой момент сопротивления сечения, показывает способность точек поверхностных слоев сечения сопротивляться деформации растяжения-сжатия при изгибе.

Кривизна изогнутой оси стержня определяется приближенным дифференциальным уравнениям изогнутой оси балки ,

где - изгибная жесткость стержня, характеризует способность стержня сопротивляться упругим деформациям растяжения-сжатия при изгибе.

Состояние поперечного изгиба. Основные понятия и формулы.

Состояние стержня, при котором в его сечениях в одной главной плоскости действуют одновременно поперечная сила и изгибающий момент , называется поперечным изгибом. Изгибающий момент вызывает в сечении действие нормальных напряжений, величина которых определяется как и при чистом изгибе. Поперечная сила вызывает в поперечном сечении действие касательных напряжений, величина которых определяются по формуле Д.И. Журавского .

где - поперечная сила в сечении;

- статический момент отсеченной части сечения, лежащий выше (или ниже) рассматриваемого слоя;

– координата центра тяжести отсеченной части сечения относительно центральной оси х;

– площадь отсеченной части сечения;

b(y) – ширина рассматриваемого слоя;

- осевой момент инерции сечения.

Касательные напряжения по высоте сечений типа прямоугольник, круг, швеллер и двутавр распределяются по закону квадратной параболы от нуля в точках поверхностных слоев до максимального значения в точках нейтрального слоя в соответствии с рисунком 4.10. Их величина определяется по формулам:

Рисунок 4.10

для прямоугольного сечения ;

для круглого сечения ;

для кольцевого сечения ;

для сечений типа швеллера, двутавр

,

где А – площадь поперечного сечения;

h_c – высота стойки (стенки) сечения;

d - ширина стойки сечения;

– статический момент полусечения относительно оси х сечения.

При уменьшении ширины сечения касательные напряжения увеличиваются скачкообразно во столько раз, во сколько уменьшается ширина сечения

Так как в большинстве случаев максимальные касательные напряжения меньше максимальных нормальных напряжений, расчеты на прочность балок при изгибе в первую очередь проводят по условию прочности по максимальным нормальным напряжениям .

Из условия прочности по нормальным напряжениям решаются три задачи

Проектировочная задача определения размеров сечения .

Проверочная задача определения допускаемого изгибающего момента .

Проверочная задача проверки прочности и определения действительного коэффициента запаса прочности , .

По касательным напряжениям, как правило, проводится проверка прочности .

При поперечном изгибе большинство точек сечения находятся в условиях плоского напряженного состояния в соответствии с рисунком 4.11. Поэтому необходима проверка прочности по эквивалентным напряжениям по III или IV теориям прочности.

По III теории прочности

По IV теории прочности

 

Пример 14. Для балки нагруженной внешними нагрузками , построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента и подобрать сечение двутавра. Материал конструкционная сталь марки

Ст 3, = 160 МПа, 80 МПа. Длина участков а = 1 м, b = 3 м, с = 2 м в соответствии с рисунком 4.12 а.

Ход решения

1. Определяем реакции опор

Отсюда

Отсюда

 

Рисунок 4.12

.

Проверка .