Ход решения

1. Определяем реакцию опоры.

Отсюда

.

2. Разбиваем стержень на участки с постоянным законом изменения внешних нагрузок. Стержень имеет три участка АВ, ВС и СD.

3. Составляем уравнения продольной силы по участкам.

Для участка АВ - уравнение прямой.

Для участка ВС

 

 

Рисунок 3.6

 

- уравнение прямой

Для участка DC .

4. По найденным значениям строим эпюру продольной силы в соответствии с рисунком 3.6 б.

Примечание. Чтобы не определять реакцию опоры необходимо по всем 3 участкам рассматривать левые отсечённые части стержня.

 

Пример 5 Построить эпюру крутящего момента для вала, нагруженного внешними моментами . Длина участков а = 0, 3 м, b = 0, 4 м, с = 0, 3 м, в соответствии с рисунком 3.7 а.

По данным варианта задания вычертить в масштабе расчётную схему вала с указанием величин моментов и размеров участков.

Ход решения.

1. Определяем реакцию опоры. На вал действует система внешних крутящих моментов относительно продольной оси z. Поэтому в жёстко защемлённой опоре возникает только реактивный крутящий момент . Для определения его величины составляем уравнение моментов относительно оси z для всего вала

Отсюда .

2. Разбиваем стержень вала на участки с постоянным законом изменения внешних нагрузок. Для данного вала имеем три участка АВ, ВС и СD, на которых изменения моментных нагрузок не происходит.

3. Составляем уравнения крутящего момента по участкам.

Приложенные к валу крутящие моменты вызывают в его сечениях действие только крутящего момента. Крутящий момент в любом сечении вала равен алгебраической сумме крутящих моментов всех внешних сил, действующих на отсечённую часть вала, относительно продольной оси z. При этом крутящий

 

Рисунок 3.7

момент от внешних нагрузок считается положительным для правой и левой отсечённых частей, если он действует по часовой стрелке относительно оси z отсеченной части вала, в соответствии с рисунком 3.7 в.

Для участка АВ проводим в любом месте участка сечение и видим, что выгодно рассматривать левую отсечённую часть.

, - величина по длине участка постоянная.

Для участка ВС .

Для участка DC выгодно рассматривать правую отсечённую часть .

4. По найденным значениям строим эпюру крутящего момента по всей длине вала в соответствии с рисунком 3.7 б.

 

Пример 6 Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента для шарнирно опертой балки, загруженной внешними нагрузками . Длина участков а = 1 м, b = 3 м, с = 2 м, в соответствии с рисунком 3.8 а.

По данным варианта задания вычертить в масштабе расчётную схему балки с указанием величин нагрузок и размеров участков.

 

Ход решения.

1. Определяем реакции опор.

В шарнирно неподвижной опоре под действием внешних нагрузок возникает вертикальная реакция R_A и горизонтальная реакция Н_А, в шарнирно подвижной опоре – только вертикальная реакция R_C. Так как на балку действуют только вертикальные внешние нагрузки, то горизонтальная реакция Н_А =0. Вертикальные реакции R_A, R_C определяются из сумм моментов всех внешних сил относительно опор А, С.

Отсюда

Отсюда

Знаки плюс значений реакций показывают, что их направление выбрано верно. При получении знака минус для значения какой-либо реакции её

Рисунок 3.8

направление изменить на обратное. Проводим проверку правильности определения значений реакций опор. Для этого составим уравнение суммы проекций всех внешних сил на вертикальную ось у .

Следовательно, реакции определены верно.

2. Разбиваем балку на участки с постоянным законом изменения внешних нагрузок. Для данной балки получаем три участка. Участки АВ и ВС, на которых действует равномерно распределённая нагрузка, и участок CD без изменения внешней нагрузки.

3. Составляем уравнения поперечной силы и изгибающего момента по участкам. Приложенные к балке внешние вертикальные (поперечные) нагрузки вызывают в её сечениях действие поперечной силы и изгибающего момента . Поперечная сила в любом сечении равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсечённую часть балки, на ось у. Проекция внешней нагрузки или её равнодействующей на вертикальную ось у принимается положительной, если она слева от сечения направлена вверх, справа – вниз, в соответствии с рисунком 3.8 в.

Изгибающий момент относительно оси х в любом сечении равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на отсечённую часть балки, относительно оси х. Изгибающий момент от внешней нагрузки принимается положительным, если он действует относительно оси х по часовой стрелке для левой отсечённой части и против часовой стрелки для правой отсечённой части.

Для участка АВ выгодно рассматривать левую отсечённую часть

- уравнение прямой

- уравнение квадратной параболы.

Определяем первую производную от уравнения изгибающего момента .

Определяем вторую производную . Следовательно, эпюра Мх на участке АВ изменяется по закону квадратной параболы выпуклостью вверх.

Для участка ВС

- уравнение прямой

- уравнение квадратной параболы.

Так как на участке ВС имеется сечение, где , то в этом сечении на эпюре Мх изгибающий момент имеет экстремальное значение. Подсчитаем его величину

Отсюда

< 0, выпуклость эпюры Мх вверх

Для участка DС выгодно рассматривать правую отсечённую часть .

- уравнение прямой

4. По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента по всем участкам балки в соответствии с рисунком

3.8 б. Для этого проводим ось эпюры параллельно оси балки и положительные значения поперечной силы и изгибающего момента откладываем вверх, отрицательные – вниз.

Примечание: Для строительных специальностей по правилам строительной механики ординаты эпюры изгибающих моментов откладывают со стороны растянутых слоев. Поэтому положительные значения изгибающего момента откладываются вниз и эпюра Мх на участках АВ и ВС изменяется выпуклостью вниз.

 

Пример № 7 Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента для консольной балки, нагруженной внешними нагрузками F =

= 5 кН, М = 20 кНм. Длина участков а = 1 м, b = 3 м, с = 2 м, в соответствии с рисунком 3.9 а.

Ход решения

1. Определяем реакции опор.

= 0 Отсюда

Отсюда

.

Проверка . Реакции определены верно.

2. Разбиваем балку на три участка АВ, ВС и СD.

3. Составляем уравнения внутренних силовых факторов по участкам.

Для участка АВ

- уравнение прямой

Для участка ВС

- уравнение прямой

 

Рисунок 3.9

- уравнение квадратной параболы

Отсюда .

. , выпуклость эпюры Мх вверх.

Для участка DС

- величина постоянная.

- уравнение прямой

4. По найденным значениям строим эпюры поперечной силы и изгибающего момента по всем участкам балки в соответствии с рисунком 3.9 б.

Примечание - В этой задаче можно не определять реакции опор R_D и Мр. В этом случае построение эпюр внутренних силовых факторов для участка DС нужно проводить из рассмотрения левой отсечённой части.

 

 

Пример № 8 Построить эпюры внутренних силовых факторов для рамы, нагруженной внешними нагрузками кН/м, кН, кНм. Длина участков м, м, в соответствии с рисунком 3.10 а.

По данным варианта задания вычерчиваем в масштабе расчетную схему рамы с указанием величин нагрузок и размеров участков.

 

Ход решения.

1. Определяем реакции опор:

Отсюда кН

Отсюда

кН

Отсюда

кН

Проверка . Реакции определены верно.

2. Разбиваем раму на два участка АВ и ВС.

3. Составляем уравнения внутренних силовых факторов по участкам. Приложенные к раме внешние нагрузки вызывают в ее сечениях действие продольной Nz, поперечной сил и изгибающего момента Mx. Эпюры для каждого участка рам строят по правилам и уравнениям, принятым для прямых стержней. При составлении уравнений силовых факторов наблюдатель располагается в плоскости чертежа внутри контура рамы и обращен к рассматриваемому сечению, для которого составляются уравнения.

Оси подвижной системы координат для левых отсеченных частей рамы: ось z вправо от сечения, ось y в сечении вертикально вниз, ось x в сечении горизонтально к наблюдателю, для правых отсеченных частей оси направлены противоположно. Положение системы координат на любом последующем участке рамы получается путем поворота системы координат предыдущего участка в плоскости сопряженных стержней.

Для участка АВ кН -

-уравнение прямой

- уравнение квадратной параболы .

Исследуем эпюру на экстремальное значение

Отсюда м. Тогда

кН м,

выпуклость эпюры вверх.

 

Рисунок 3.10

 

Для участка СВ

,

- уравнение прямой

По найденным значениям строим эпюры и по участкам в соответствии с рисунком 3.10 б.

 

5 Проводим проверку правильности построения эпюр внутренних силовых факторов в узлах рамы. Для этого вырезаем узел В и прикладываем к нему внешние нагрузки и внутренние силовые факторы, действующие в сечениях вырезанного узла, в соответствии с рисунком 3.10 в. Составляем уравнения равновесия узла.

 

Пример № 9 Построить эпюры внутренних силовых факторов для рамы, нагруженной внешними нагрузками кН/м, кН, кН м. Длина участков м, b =3, 0 м, c =2, 0 м, в соответствии с рисунком 3.11 а.

Ход решения.

1. Определяем реакции опор:

Отсюда кН

Отсюда

кН

Отсюда

кН

Проверка

2. Рама имеет 4 участка с постоянным законом изменения внешних нагрузок АВ, ВС, СD и СЕ.

3. Составляем уравнения продольной и поперечной сил и изгибающего момента по участкам.

Для участка АВ

кН - кН -

- уравнение прямой

Для участка ВС кН -

- уравнение прямой

- уравнение квадратной параболы

Исследуем уравнение на экстремальное значение Отсюда м.

Тогда кН м

- выпуклость эпюры вверх.

Для участка DС , кН -

Для участка ЕС кН -

кН - - уравнение прямой

3. По найденным значениям строим эпюры и по всем участкам в соответствии с рисунком 3.11 б.

 

Рисунок 3.11

 

5. Проводим проверку для узлов в соответствии с рисунком 3.11 в.

 

Для узла В
Для узла С