Геометрические характеристики плоских сечений

 

Основные понятия и формулы

При определении способности стержней сопротивляться упругим деформациям недостаточно характеристик площади поперечного сечения. Поэтому в курсе сопротивления материалов вводятся новые геометрические характеристики.

- алгебраическая сумма произведений элементарных

площадок на координаты их центра тяжести до какой-либо оси по всей площади сечения называется статическим моментом площади сечения относительно этой оси. Рисунок 2.1.

 

Рисунок 2.1

 

Численно их величина равна

где А – площадь сечения;

- координаты центра тяжести площади сечения.

Положение центра тяжести площади сечения определяется по формулам

, - алгебраическая сумма произведений элементарных площадок на квадраты координат их центра тяжести до какой-либо оси по всей площади сечения называется осевым моментом инерции площади сечения относительно этой оси.

Аналогично - называется центробежным моментом инерции площади сечения относительно взаимно перпендикулярных осей х, у.

- называется полярным моментом инерции сечения относительно точки пересечения взаимно перпендикулярных осей х, у. .

Для типовых сечений значения площадей поперечных сечений и моментов инерции приведены ниже. Рисунок 2.2.

Рисунок 2.2.

 

Для прямоугольника , , , ,

Для прямоугольного треугольника , , , , ,

Для круглого сечения , , , , , .

Для кольцевого сечения

, ,

.

Геометрические характеристики прокатных профилей двутавра, швеллера, равнобоких и неравнобоких уголков и т.д. определяются из таблиц «Сортамент прокатной стали».

Центробежный момент инерции сечения неравнобокого уголка относительно собственных центральных осей определяется по формуле

- где - осевые моменты инерции относительно центральных осей неравнобокого уголка;

- угол наклона центральных осей относительно главных центральных осей неравнобокого уголка.

Центробежный момент инерции равнобокого уголка определяется по формуле

- где - максимальный и минимальный осевые моменты инерции сечения уголка относительно его главных осей , v;

- угол наклона главных осей сечения равнобокого уголка относительно центральных осей х, у.

Для сечений, имеющих хотя бы одну центральную ось симметрии, центробежный момент инерции относительно центральных осей равен нулю.

Статические моменты сечений относительно осей параллельных центральным осям определяются по формулам перехода к параллельным осям

,

Моменты инерции сечений относительно осей, параллельных центральным осям, определяются по формулам перехода к параллельным осям. Рисунок 2.1.

Моменты инерции относительно осей u, v, повернутых относительно осей х, у на угол , определяются по формулам. Рисунок 2.3

Оси, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных, значений, а центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями. Положение главных центральных осей определяется по формулам или .

 

 

Моменты инерции относительно главных центральных осей называется главными моментами инерции. Величина их определяется по формуле

Сумма осевых моментов инерции сечения при повороте осей не меняется и определяется законом постоянства суммы осевых моментов инерции: сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных центральных осей равна сумме главных моментов инерции относительно главных центральных осей и есть величина постоянная, равная полярному моменту инерции сечения относительно этих взаимно перпендикулярных осей.

При повороте осей величина осевых моментов инерции сечения изменяется от до по закону эллипса. Рисунок 2.3.

где , - радиусы эллипса инерции площади сечения относительно главных осей

Для составных сечений площадь сечения, статические моменты и моменты инерции определяются как их алгебраическая сумма для простых сечений , , , .