Расчётно-проектировочная работа № 3

«Расчёты на прочность и жёсткость при простых состояниях стержней»

Пример 10. Для заданного стержня построить эпюру продольной силы, определить размеры сечений по участкам и построить эпюру перемещений сечений. Материал стержня конструкционная сталь марки Ст.3, допускаемое напряжение , модуль нормальной упругости , . Длина участков а = 1 м, b = 3 м, с = 2 м, в соответствии с рисунком 4.3 а.

Ход решения.

1. Определяем реакцию опоры.

Отсюда

2. Строим эпюру продольной силы. Построение её рекомендуется начинать от жёстко защемленной опоры.

Для участка АВ .

Для участка ВС

- уравнение прямой

Для участка СD

.

По найденным значениям строим эпюру продольной силы по всем участкам в соответствии с рисунком 4.3 б.

3. Определяем опасные сечения по участкам.

Для участка АВ все сечения равноопасны с кН. Для участка ВС опасное сечение В с . Для участка DC все сечения равноопасны с = 20 кН.

4. Определяем опасные точки опасных сечений. При растяжении-сжатии в поперечных сечениях действуют нормальные напряжения, которые по сечениям распределяются равномерно, в соответствии с рисунком 4.3 д.

При растяжении напряжения считаются положительными и направлены от сечения, при сжатии – отрицательными, и направлены к сечению. Из построенных эпюр видно, что при растяжении-сжатии все точки опасных сечений равноопасны.

5. Определяем размеры сечений по участкам из условия прочности при растяжении-сжатии.

Для участка АВ определяем размеры квадратного сечения

Отсюда см² .

Для участка ВС определяем размеры круглого сечения

. Отсюда см²

Рисунок 4.3

 

.

Для участка СD определяем размеры кольцевого сечения

. Отсюда 1, 25 см² ; . .

Проводим проверку прочности для определённых размеров сечений. Для участка АВ

Для участка ВС

- уравнение прямой

Для участка DC

Так как напряжения в опасных сечениях равны допускаемым, то размеры сечений определены верно. По найденным напряжениям строим их эпюры по длине стержня и для опасных сечений в соответствии рисунками 4.3 в, д.

6. По условию жесткости при растяжении – сжатии определяем перемещения сечений и строим эпюру перемещений в соответствии с рисунком 4.3 г.

Для участка АВ

- уравнение прямой.

.

Для участка ВС

- уравнение квадратной параболы.

Исследуем уравнение перемещений на участке ВС на экстремальное значение

Отсюда

Исследуем уравнение перемещений на выпуклость

. Следовательно, выпуклость эпюры вниз

Для участка CD

- уравнение прямой

Определяем суммарные значения эпюры перемещений.

Для сечения А . Для сечения В

Для сечения z^*= 2м

Для сечения С

Для сечения D

Примечание. Если координата z^* выходит за пределы размера участка, то на этом участке экстремальное значение отсутствует.

 

Пример 11. Для стержня, один конец которого жестко защемлен, а второй имеет зазор 0, 10 мм, определить размеры поперечных сечений по участкам и построить эпюру перемещений сечений. Материал стержня сталь марки Ст.3, предел текучести МПа, модуль нормальной упругости МПа, коэффициент запаса прочности . Длина участков м, м, м в соответствии с рисунком 4.4 а. кН, кН, =10 см ²,

При приложении внешних нагрузок стержень будет деформироваться до закрытия зазора и в опорах возникнут реакции и .

Рисунок 4.4

 

Ход решения

1. Составляем уравнение равновесия стержня

- число уравнений равновесия статики

2. Определяем степень статической неопределимости системы

- система один раз статически неопределима.

где - число неизвестных реакций опор.

3. Составляем уравнение совместности деформаций

- перемещение сечения D стержня от действия системы внешних нагрузок F ₁ и F ₂.

- перемещение сечения D стержня от действия реакции . Тогда

Отсюда

кН.

Тогда кН

4. Строим эпюру продольной силы Nz по всем участкам

Для участка АВ кН -

Для участка ВС кН -

Для участка CD кН -

По найденным значениям строим эпюру продольной силы по всем участкам в соответствии с рисунком 4.4 б.

5. Проводим проверку прочности по условию прочности при растяжении-сжатии

где МПа – допускаемое напряжение на растяжение-сжатие для Ст.3

Для участка АВ МПа

Для участка ВС МПа

Для участка СD МПа

Действующие напряжения в сечениях всех участков меньше допускаемого напряжения . По найденным значениям строим эпюру напряжений по всем участкам стержня в соответствии с рисунком 4.4 в.

6. Строим эпюру перемещений Так как продольная сила на всех участках постоянна, то перемещения на каждом из участков изменяются по закону прямой и определяются по формуле

Для участка АВ При

При мм

Для участка ВС При

При

Для участка СD При

При мм

По найденным значениям строим эпюру суммарных перемещений по всем участкам в соответствии с рисунком 4.4 г.

мм

мм

мм

Пример № 12 Для стержня, оба конца которого жестко защемлены, определить размеры поперечных сечений по участкам, построить эпюры продольной силы, напряжений и перемещений сечений. Материал стержня сталь марки Ст.3, предел текучести МПа, коэффициент запаса прочности . Нагрузки кН, кН, длина участков м, b = 0, 3 м, м в соответствии с рисунком 4.5 а. Площадь сечений участков с меньшей площадью А, с большей площадью 1, 5 А.

Рисунок 4.5

Ход решения

1. Составляем уравнение равновесия статики

2. Определяем степень статической неопределимости системы. Для этого составляем основную и эквивалентные системы. Рисунки 4.5 б, в.

- система один раз статически неопределима.

где - число неизвестных реакций опор;

- число уравнений равновесия статики.

3. Составляем уравнение совместности деформаций

- перемещение сечения D под действием системы внешних сил F ₁, F ₂

- перемещение сечения D под действием реакции . Тогда Отсюда кН

Из уравнения равновесия кН

4. Строим эпюру продольной силы по участкам

Для участка АВ кН -

Для участка ВС кН -

Для участка СD кН -

По найденным значениям строим эпюру продольной силы по всем участкам стержня в соответствии с рисунком 4.5 г.

5. Из условия прочности при растяжении-сжатии определяем размеры сечений по участкам.

Для участка СD . Отсюда

см ² Тогда см ².

Для участка АВ МПа -

Для участка ВС МПа -

Для участка СD МПа -

Так как , то размеры сечений определены верно.

Так как продольная сила на каждом участке величина постоянная, то и напряжения на каждом участке величины постоянные. Для найденных размеров сечений строим эпюру напряжений по длине стержня. Рисунок 4.5 д.

6. Строим эпюру перемещений по длине стержня. Так как продольная сила на всех участках постоянна, то перемещения на каждом из участков изменяются по закону прямой.

Для участка АВ. При

При мм

Для участка ВС. При

При мм

Для участка CD При

При мм

По найденным значениям строим эпюру суммарных перемещений по всем участкам в соответствии с рисунком 4.5 е. Для сечения А , мм. Для сечения В мм Для сечения С мм. Для сечения D

Вопросы и ответы для самоконтроля

1. Какое состояние называется растяжением-сжатием?

Состояние стержня, при котором в его сечениях действует только продольная сила , называется растяжением-сжатием.

2. Закон Гука при растяжении-сжатии.

Нормальное напряжение прямо пропорционально относительной упругой деформации.

3. Формула для определения нормальных напряжений при растяжении-сжатии?

Нормальное напряжение прямо пропорционально продольной силе и обратно пропорционально площади поперечного сечения.

4. Как распределяются нормальные напряжения при растяжении-сжатии по площади поперечного сечения?

Нормальные напряжения при растяжении-сжатии по площади поперечного сечения распределяются равномерно.

5. Закон Пуассона.

Относительная упругая поперечная деформация прямо пропорциональна относительной упругой продольной деформации.

6. Характеристиками каких свойств являются Е, ?

Модуль нормальной упругости Е и коэффициент поперечной деформации являются характеристиками упругих свойств материалов.

7. Что характеризует Е?

Модуль нормальной упругости характеризует способность материала сопротивляться упругим деформациям при растяжении-сжатии.

8. Что показывает ?

Коэффициент поперечной деформации показывает какую часть относительная упругая поперечная деформация составляет от относительной упругой продольной деформации.

9. Что называется пределом пропорциональности?

Максимальное напряжение , до которого справедлив закон Гука, называется пределом пропорциональности.

10. Что называется пределом текучести?

Напряжение , при котором происходит рост пластических деформа- ций без заметного увеличения напряжений, называется пределом текучести.

11. Что называется явлением текучести?

Процесс увеличения пластических деформаций без заметного увеличения напряжений, называется текучестью.

12. Что называется условным пределом текучести?

Условный предел текучести – это напряжение, при котором остаточная относительная деформация образца , т.е. 0, 2 %.

13. Что называется пределом прочности?

Максимальное условное напряжение , соответствующая наибольшей нагрузке выдерживаемой образцом, называется пределом прочности (или временным сопротивлением).

14. Что показывает относительная остаточная деформация?

Относительная остаточная деформация показывает пластичность материала в продольном направлении образца.

15. Что показывает относительное сужение площади поперечного сечения?

Относительное остаточное сужение площади поперечного сечения образца показывает пластичность материала в поперечном направлении образца.

16. Формула для определения абсолютной деформации при растяжении-сжатии для стержня с одним участком?

Абсолютная упругая деформация прямо пропорциональна продольной силе и длине стержня и обратно пропорциональна его жесткости при растяжении-сжатии.

17. Что характеризует жесткость стержня ?

Жесткость стержня характеризует способность сечения стержня сопротивляться упругим деформациям при растяжении-сжатии.

18. Какое напряжение называется допускаемым?

. Напряжение, которое материал выдерживает без разрушения, называется допускаемым.

19. Какое напряжение называется опасным?

Напряжение, при котором материал получает недопустимо большие остаточные деформации или разрушается, называется опасным (предельным).

20. Что показывает коэффициент запаса прочности?

Коэффициент запаса прочности показывает во сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного.

21. Что называется наклепом?

Явление увеличения участка пропорциональности и предела пропорциональности в результате предварительной пластической деформации материала называется наклепом.

22. Условие прочности при растяжении-сжатии.

Максимальное действующее напряжение, прямо пропорциональное продольной силе и обратно пропорциональное площади поперечного сечения, не должно превышать допускаемого напряжения.

23. Какие задачи решаются по условию прочности?

Проектировочная задача определения размеров сечения

Проверочная задача определения допускаемой нагрузки

Проверочная задача проверки прочности и определения коэффициента запаса прочности , .

24. Условие жесткости при растяжении-сжатии?

Максимальная абсолютная деформация, прямо пропорциональная продольной силе и длине стержня и обратно пропорциональная его жесткости при растяжении-сжатии, не должна превышать допускаемой абсолютной деформации.

25. Какие задачи решаются по условию жесткости.

Проектировочная задача определения размеров сечения

Проверочная задача определения допускаемой нагрузки

Проверочная задача проверки жесткости

Проектировочная задача определения предельной длины стержня .

26. Какие системы называются статически определимыми.

Системы, в которых число неизвестных реакций опор меньше или равно числу уравнений равновесия статики, называются статически определимыми.

27. Какие системы называются статически неопределимыми.

Системы, в которых число неизвестных реакций опор больше числа уравнений равновесия статики, называются статически неопределимыми.

28. Что называется степенью статической неопределимости.

m = k – n. Разность между числом неизвестных реакций опор и числом уравнений равновесия статики системы называется степенью статической неопределимости системы.

29. Какие реакции называются «лишними»?

Реакции лишние по отношению к числу уравнений равновесия статики системы, называются «лишними».

30. Какая система называется основной?

Основной называется статически определимая геометрически неизменяемая система, полученная из статически неопределимой путем отбрасывания «лишних» реакций опор вместе с внутренними или внешними связями опор.

31.Какая система называется эквивалентной?

Эквивалентной называется основная система, к которой приложены «лишние» реакции без связей.