Решение задачи традиционными методами. Состояние системы массового обслуживания будем связывать с числом требований, находящихся в системе:

Состояние системы массового обслуживания будем связывать с числом требований, находящихся в системе:

• в системе нет ни одного требования - вероятность состояния Р₀; ' \

• в системе находится одно требование - вероятность состояния Р.; ^! _ч

• в системе находится п требований - вероятность состояния Р_п.)

Представим все возможные состояния СМО в виде размеченного графа состояний (рис. 5.1.1). Каждый прямоугольник графа, количественно оцениваемый вероятностью состояний Р_п, определяет одно из всех возможных состояний. Стрелки указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью.

Рис. 5.1.1. Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой системы массового обслуживания

Первый прямоугольник с вероятностью Р₀ определяет состояние системы массового обслуживания, при котором канал обслуживания простаивает из-за отсутствия требований в ней. Из этого положения система массового обслуживания может перейти с интенсивностью mλ только в состояние Р1; тогда в системе появится одно требование, так как входной поток - ординарный. С интенсивностью μ система может перейти также из состояния Р1 в состояние Р₀; когда в системе находилось одно требование, но оно было обслужено раньше, чем появилось новое. Из состояния Р1 система массового обслуживания может перейти с интенсивностью (m - 1) λ в состояние Р₂; тогда в системе появятся два требования. С интенсивностью μ система может перейти также из состояния Р₂ в состояние Р1; когда в системе находилось два требования, но одно из них было обслужено раньше, чем появилось новое, и т.д.

Рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики ее постоянны во времени, например в течение часа. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы:

P₀ mλ =P₁ μ

P₁ (μ +(m-1)λ)= P₀m λ + P₂ μ

P₂ (μ +(m-2) λ) = P₁(m-1) λ + P₃ μ

………………………………

P_n (μ +(m-n) λ) = P _n-1(m-(n-1)) λ + P _n+1 μ

…………………….

P_m μ =P_m-1 λ

Обозначим величину λ /m через ψ и назовем ее коэффициентом загрузки. Из первого уравнения можно найти значение Р₁:

P₁ =P_m λ / μ =P ₀ m ψ

Из второго уравнения найдем значение Р₂:

P₂=P₁+P₁(m-1)λ /μ –P₀m λ /μ

Но первый член – Р₁ = Р₀ mλ /μ, следовательно, первый и третий сокращаются:

Р₂ = Р₁ (m- 1) λ / μ = Р_о m(m - 1) ψ ².

Из третьего уравнения найдем значение Р₃:

Р₃ = Р₂ + Р₂(m - 2) λ / μ – Р₁ (m - 1) λ / μ

Но первый член - Р₂ = Р₁ (m - 1) λ / μ, следовательно, первый и третий сокращаются:

Р₃ = Р₂(m - 2) λ / μ = Р₀ m (m - 1)(m - 2) ψ ³ и т.д.;

Р_n = Р_n-1 (m - (n - 1)) λ / μ = P₀ m (m - 1)...(m - (n - 1)) ψ ⁿ = P₀ ψ ⁿ (m! /(m-n)!

Используя очевидное равенство Σ Р_п = 1, получим: 1 = P_Q Σ ψ ⁿ m! /(m-n)! от n = 0 до m.

Зная вероятность простоя канала обслуживания Р₀, можно определить его фактическую производительность:

P_f=(l-P₀) μ G,

где G, например, количество груза, помещенного за одно обслуживание в машину.

Для установившегося режима работы системы средняя интенсивность поступления требований во входном потоке равна аналогичной характеристике выхода требований из канала обслуживания:

(m-N_сист)λ = (l-P₀)μ,

где n_сист - среднее число обслуживаемых требований, находящихся в системе. Из данного равенства можно легко найти среднее число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), находящихся в системе n_ciict:

N_сист = m-(l-P₀)/ψ.

Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, будет вычислено так:

n_oч- - n_chct - (1 – Р₀) = m - (1 - P₀)(1/ψ + 1).

Пусть задан комплект машин «экскаватор - автосамосвалы». Экскаватор погружает за один рабочий цикл g_a = 1 т грунта. Грузоподъемность автосамосвала g_a = 7 т. Число машин, обслуживающих экскаватор, m = 5. Время рабочего цикла экскаватора составляет t_рц= 18 с, а время обращения автосамосвала t_обр = 10 мин. Тогда время погрузки одного грузовика составит:

t_пог=

Интенсивность погрузки автосамосвала экскаватором составит

29 погрузок в час.

Интенсивность же поступления автосамосвала на погрузку составит

6 обращении в час.

t-воз 1"

Коэффициент ψ =λ /μ будет равен ψ = 0, 207. Вероятность простоя экскаватора в этом случае составит:

Таким образом, фактическая производительность данного комплекта машин будет на 27, 1% ниже технической.

Вероятности наличия n машин в системе:

Р₁= Р₀ m ψ = 0, 281

Р₂= Р₁ (m - 1) ψ = 0, 233

Р₃=Р₂(m-2) ψ = 0, 144

Р₄ = Р₃ (m - 3) ψ = 0, 06

Р₅=Р₄(m-4) ψ = 0, 012;,

Фактическая производительность комплекта машин:

P_f - (1 - Р„) μ G = (1 - 0, 271) X 29 X 7 = 147, 947 т/час.

Среднее число машин, находящихся в системе:

N_сист = m-(l-P₀)/ ψ = 1, 477.

Среднее число машин, находящихся в очереди:

^No₄ - N_CИCT - (1 - Р₀) = m - (1 - Р₀) (1 / ψ + 1) = 0, 749.