ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Пусть для определения неизвестной физической постоянной а производится n независимых измерений, причем считается, что грубые и систематические ошибки отсутствуют (см. § 6, п. 2). Возможный результат каждого из n измерений есть случайная величина, которую мы обозначим через (i — номер измерения). Так как каждое измерение не зависит от результатов других измерений, то мы имеем n случайных независимых величин . Обозначим через x₁, x₂,..., x_n фактически полученные результаты n измерений величины а. Таким образом, x_i есть одно из возможных значений .
На основании закона больших чисел Чебышева (см, § 5, п. 2) мы можем утверждать, что с практической достоверностью для достаточно большого числа n измерений средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения физической постоянной сколь угодно мало, т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, имеет место приближенное равенство

Оценим точность этого приближенного равенства. Для этого прежде всего заметим, что в силу основного закона ошибок (см. § 6, п. 2) каждый возможный результат измерения есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с одним и тем же математическим ожиданием, равным истинному значению а измеряемой величины: (i=1, 2,..., n). Далее будем предполагать, что все измерения проводятся с одинаковой степенью точности (равноточные измерения). Поэтому дисперсии всех случайных величин должны быть одинаковыми, т. е. .
Сначала рассмотрим случай оценки неизвестного значения а, предполагая известным значение . Так как возможный результат i -гo измерения есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с математическим ожиданием и дисперсией , то случайная величина также имеет нормальное распределение с тем же математическим ожиданием , и средним квадратическим отклонением (см. § 4, п. 3). Поэтому плотность распределения вероятностей для средней арифметической имеет вид

где параметры распределения равны а и
Следовательно, вероятность того, что при n измерениях мы получим такую совокупность значений , что при любом интервал будет содержать а, на основании формулы (33) определяется соотношением

(58)

Интервал имеет случайные границы и . Соотношение (58) справедливо для любого значения . Вероятность не зависит от конкретных значений, которые принимают случайные величины и при возрастании числа измерений n в силу свойства функции Ф(х) возрастает (см. § 3, п. 4). Соотношение (58) показывает, что каковы бы ни были значения x₁, x₂,..., x_n полученные при измерении, имеет место формула

(59)

где . Величина называется средней выборочной. Формулой (59) в большинстве случаев пользоваться нельзя, так как обычно значение неизвестно. Поэтому рассмотрим случай, когда обе величины а и неизвестны.
Пусть случайная величина s² определена соотношением

(60)

где . Можно показать, что величина s² имеет математическое ожидание, равное , и дисперсию, равную , т.е.

(доказательство не приводим ввиду громоздкости вычислений). Применим к случайной величине s² вторую лемму Чебышева (см. § 5, п. 1):

где . Подставляя значения M(s²) и D(s²), получим

(61)

Соотношение (61) показывает, что если , то , т.е. s² стремится по вероятности к .
Рассмотрим величину

Так как есть одно из возможных значений s², то при достаточно больших n с практической достоверностью можно утверждать, что имеет место приближенное равенство

(62)

где . Величину называют выборочной дисперсией.
На практике для оценки вероятности того, что истинное значение а измеряемой величины лежит в интервале , пользуются формулой (59), где вместо подставляют ее приближенное значение , найденное по формуле (62).
Итак, для достаточно больших значений n имеем

(63)

где

(64)

Интервал называется доверительным интервалом, а вероятность — надежностью *.

 

Пример. Для определения процентного содержания хрома в стали были проделаны 34 измерения, результаты которых сведены в таблицу: № xi   4, 505       4, 524 0, 019 0, 000361   4, 492 -0, 013 0, 000169   4, 5 -0, 005 0, 000025   4, 493 -0, 012 0, 000144   4, 515 0, 01 0, 0001   4, 504 -0, 001 0, 000001   4, 508 0, 003 0, 000009   4, 517 0, 012 0, 000144   4, 513 0, 008 0, 000064   4, 519 0, 014 0, 000196   4, 511 0, 006 0, 000036   4, 485 -0, 02 0, 0004   4, 497 -0, 008 0, 000064   4, 502 -0, 003 0, 000009   4, 507 0, 002 0, 000004   4, 501 -0, 004 0, 000016   4, 501 -0, 004 0, 000016   № xi   4, 507 0, 002 0, 000004   4, 502 -0, 003 0, 000009   4, 497 -0, 008 0, 000064   4, 485 -0, 02 0, 0004   4, 511 0, 006 0, 000036   4, 519 0, 014 0, 000196   4, 513 0, 008 0, 000064   4, 517 0, 012 0, 000144   4, 508 0, 003 0, 000009   4, 504 -0, 001 0, 000001   4, 515 0, 01 0, 0001   4, 493 -0, 012 0, 000144   4, 5 -0, 005 0, 000025   4, 492 -0, 013 0, 000169   4, 424 0, 019 0, 000361   4, 505     153, 186   0, 006968   Найти доверительный интервал с надежностью =0, 9973 Решение: Здесь n=34. Используя табличные данные, находим При надежности =0, 9973 по формуле (63) получим Cледовательно, Из табл. II Приложения найдем В данном случае доверительный интервал Итак с надежностью =0, 9973 процентное содержание хрома в стали находится в интервале ] 4, 498; 4, 513 [.

 

Расчет по формуле (63) дает удовлетворительные по точности результаты при .