Имеет место следующее утверждение. Пусть 
- последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. 
для любого i. Тогда, каково бы нибыло 
, справедливо соотношение
| (54)
|
Доказательство:
Обозначим через 
величину 
, т.е. среднюю арифметическую n случайных величин. Случайная величина имеет математическое ожидание
и дисперсию
(здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине 
вторую лемму Чебышева, найдем, что
т.е.
так как при любом i, и следовательно,
Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим
Переходя к пределу при 
, имеем
Смысл закона больших чисел Чебышева состоит в следующем. В то время как отдельная случайная величина может принимать значения, очень далекие от своего математического ожидания, средняя арифметическая большого числа случайных величин с вероятностью, близкой к единице, принимает значение, мало отличающееся от среднего арифметического их математических ожиданий.
Частный случай закона больших чисел Чебышева. Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. и одинаковые математические ожидания 
. Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение
Это непосредственно следует из формулы (54), так как
Замечание. Говорят, что случайная величина 
сходится по вероятности к числу А, если при сколь угодно малом вероятность неравенства 
с увеличением n неограниченно приближается к единице. Сходимость по вероятности не означает, что 
. Действительно, в последнем случае неравенство выполняется для всех достаточно больших значений n. В случае же сходимости по вероятности это неравенство для отдельных сколь угодно больших значений n может не выполняться. Однако невыполнение неравенства для больших значений n есть событие очень редкое (маловероятное). Принимая это во внимание, частный случай закона больших чисел Чебышева можно сформулировать так.
Средняя арифметическая попарно независимых случайных величин 
, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии и одинаковые математические ожидания , сходится по вероятности к а.
Поясним смысл частного случая закона больших чисел Чебышева. Пусть требуется найти истинное значение а некоторой физической величины (например, размер некоторой детали). Для этого будем производить ряд независимых друг от друга измерений. Всякое измерение сопровождается некоторой погрешностью (см. подробнее § 6, п. 1). Поэтому каждый возможный результат измерения есть случайная величина 
(индекс i — номер измерения). Предположим, что в каждом измерении нет систематической ошибки, т. е. отклонения от истинного значения а измеряемой величины в ту и другую стороны равновероятны. В этом случае математические ожидания всех случайных величин одинаковы и равны измеряемой величине а, т. е.
Предположим, наконец, что измерения производятся с некоторой гарантированной точностью. Это значит, что для всех измерений . Таким образом, мы находимся в условиях закона больших чисел Чебышева, а потому, если число измерений достаточно велико, то с практической достоверностью можно утверждать, что каково бы ни было , средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения а меньше, чем на 
