Говорят, что случайная величина 
нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения 
имеет вид
| (28)
|
где a - любое действительное число, а 
> 0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем (см. §4, п. 2). Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения F(x) [см. формулу (22)], имеем
График функции симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при 
и 
. При 
график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 11 изображены два графика функции y= . График I соответствует значениям a=0, =1, а график II - значениям a=0, =1/2.
Покажем, что функция удовлетворяе условию (24), т.е. при любых a и выполняется соотношение
В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая 
. Тогда
В силу четности подинтегральной функции имеем
Следовательно,
Но,
В результате получим
| (29)
|
Найдем вероятность 
. По формуле (23) имеем
Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая . Тогда 
, 
и
| (30)
|
Как мы знаем, интеграл 
не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (30) вводится функция
| (31)
|
называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (31) получим
Итак,
| (32)
|
Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.
1°. Ф(0)=0
2°. 
; при 
величина 
практически равна 1/2 (см. табл. II).
3°. Ф(-x)=-Ф(х), т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.
График функции Ф(х) изображен на рис. 12.
Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам 
, определяется соотношением (32).
Пусть > 0. Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на 
, т.е. 
.
Так как неравенство 
равносильно неравенствам 
, то полагая в соотношении (32) 
, 
получим
Вследствие того, что интеграл вероятностей - нечетная функция, имеем
| (33)
|
Пример 1. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a=0, =2.
Определить:
1) 
;
2) 
;
Решение:
1) Используя формулу (32), имеем
Из табл. II находим, что Ф(1)=0, 34134, Ф(1, 5)=0, 43319. Следовательно
2) Так как a=0, то 
. По формуле (33) находим
Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы 
Решение: По формуле (33) имеем
Следовательно, 
. Из табл. II находим, что этому значению 
соответствует 
, откуда 
Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0, 9973, что случайная величина находится в интервале 
. Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала . Этот факт называют правилом трех сигм.
