Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика 
и его высота 
, образуют систему двух случайных величин 
Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность 
совместного выполнения неравенств 
и 
, где x и y - любые действительные числа.
Функция двух переменных
| (34)
|
определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин
Будем рассматривать и как декартовы координаты точки на плоскости. Точка 
может занимать то или иное положение на плоскости 
. Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка попадает в область 
, изображенную на рис. 13.
Двумерная случайная величина называется дискретной, если и - дискретные величины.
Пусть возможные значения и образуют, например, конечные последовательности x1, x2,..., xn и y1, y2,..., ys. Возможные значения двумерной случайной величины имеют вид (xi, yj), где i=1, 2,..., n; j=1, 2,..., s. Обозначим через pij вероятность того, что 
Функция распределения F(х, у) имеет вид
где двойная сумма распространена на те i и j, для которых xi< x и yj< y.
Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины , а первый столбец — возможные значения . В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:
| \
| -1
| 0
| 1
|
| 0, 1
| p11=0, 05
| p12=0, 20
| p13=0, 30
|
| 0, 2
| p21=0, 10
| p22=0, 20
| p23=0, 15
|
Сумма всех вероятностей
Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение
Пример 1. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через число очков, выпавшее на первой кости, а через — на второй; тогда — Двумерная дискретная величина. Покажем, что величины и независимы. (Решение)
Двумерная величина называется непрерывной, если существует такая непрерывная неотрицательная функция 
, двух переменных, что вероятность того, что точка содержится в некоторой области плоскости , равна двойному интегралу от функции по области :
| (35)
|
Функция называется плотностью распределения вероятностей системы двух величин и . Отсюда, в частности, следует, что если область имеет вид, изображенный на рис. 13, то функцию распределения системы случайных величин можно записать следующим образом:
| (36)
|
Непрерывные случайные величины и называются независимыми, если 
, где 
и 
- соответственно плотности распределения вероятностей случайных величин и . В этом случае
где F1(x) и F2(y) — соответственно функции распределения величин и [см. формулу (22)].
Зная функцию распределения F(х, у) двумерной случайной величины , легко найти как функцию распределения, так и плотность распределения каждой из случайных величин и , в отдельности.
Действительно, пусть F1(x) - функция распределения случайной величины . Тогда 
. Так как в этом случае может принимать любое значение, то ясно, что
Следовательно, по формуле (36) имеем
Дифференцируя последнее равенство по x, согласно правилу дифференцирования интеграла по переменной верхней границе получим
| (37)
|
Аналогичным образом получаем
и, следовательно,
| (38)
|
Таким образом, чтобы получить плотность распределения одной из составляющих двумерной случайной величины, надо проинтегрировать в границах от 
до 
плотность распределения системы по переменной, соответствующей другой случайной величине.
Пример 2. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения
Найти:
1) вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 14;
2) функцию распределения F(х, у);
3) плотности распределения каждой величины и в отдельности. (Решение)
По определению двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин и имеет вид
где 
, 
, а R - некоторая постоянная (см. § 9, п. 2). Можно показать [используя формулы (37) и (38)], что каждая из величин и распределена нормально:
На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. В частности, если и независимы, то 
. Отсюда следует, что R=0, и, cледовательно,
Нетрудно убедиться в том, что справедливо и обратное утверждение: если R=0, то и — независимые случайные величины.
