В этом пункте докажем следующие две леммы, принадлежащие Чебышеву*
Лемма 1. Пусть 
— случайная величина, принимающая только неотрицательные значения; тогда
Доказательство:
Для простоты докажем это утверждение для дискретной случайной величины , принимающей значения x1, x2,..., xn, при условии 
. По аксиоме сложения вероятностей имеем
где суммирование распространено на все значения xi, большие или равные единице. Но для sub> 
, очевидно,
Поэтому
| (50)
|
где xi< 1. Эта сумма неотрицательна, так как все по условию, а вероятности 
. Поэтому
| (51)
|
Последняя сумма распространена на все значения xi, принимаемые учайной ветчиной . Но эта сумма по определению равна математическому ожиданию:
Сопоставляя соотношения (50) и (51), имеем
Тем самым лемма доказана.
Лемма 2. Пусть 
— случайная величина, а 
- положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины. от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности
| (52)
|
Неравенство (52) называется неравенством Чебышева.
Доказательство:
Рассмотрим сначала неравенство 
. Так как оно равносильно неравенству
то
Случайная величина
неотрицательна и, значит, удовлетворяет условиям первой леммы Чебышева. Следовательно,
так как 
Поэтому
| (53)
|
Так как событие, выражаемое неравенством 
, противоположно событию, выражаемому неравенством , то
Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим
* П.Л.Чебышев (1821-1894) - выдающийся русский математик.
