Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

 

Годовая рента. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке r% годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R, а срок – n. Все члены ренты, кроме последнего приносят проценты – на первый член проценты начисляются n-1 год, на второй n-2 и т.д. Ряд наращенных к концу срока членов ренты представляет собой:

Если переписать этот ряд в обратном порядке, получим геометрическую прогрессию из n членов со знаменателем (1+r) и первым членом R. Наращенная сумма годовой постоянной ренты постнумерандо равна сумме членов этой прогрессии:

Обозначим множитель, на который умножается R, через . Нижний индекс указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. Этот множитель называют коэффициентом наращения ренты. Данный коэффициент представляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1:

Таким образом,

Коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. При r=0 имеем FV = R .

Рассмотрим случай, когда общий срок ренты определяется как . Тогда

Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Пусть теперь проценты начисляются m раз в году. Число членов ренты равно n. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем в обратном порядке):

где - номинальная ставка процентов.

Имеем геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем . Сумма членов этой прогрессии составляет

Рента р-срочная (m = 1). Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается . Общее число членов ренты равно np. Последовательность членов ренты с начисленными процентами представляет собой геометрическую прогрессию, первый член которой равен , а знаменатель - . Сумма членов этой прогрессии

 

Рента р-срочная (р = m). На практике наиболее часто встречаются случаи, когда число выплат в году равно числу начислений процентов: р = m. В этом случае вместо числа лет берется число периодов выплаты ренты np, член ренты равен , а ставка за период равна . Поскольку р = m, то, преобразуя формулу годовой ренты, в итоге получим

 

Для наращенной суммы р-срочной ренты могут применяться и формулы, полученные для годовой ренты. В этом случае n означает число периодов, а r является ставкой за период.

 

Рента р-срочная (р ≠ m). Наиболее общий случай - р -срочная рента с начислением процентов m раз в году. Общее количество членов ренты равно np, величина члена ренты . Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд, соответствующий геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Сумма членов такой прогрессии составит

 

Непрерывное начисление процентов. Рассмотрим ежегодные платежи постнумерондо с непрерывным начислением процентов. Ряд платежей с начисленными непрерывными процентами, переписанный в обратном порядке, представляет собой:

Сумма членов прогрессии равна

Аналогично для р -срочной ренты получим: