Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов

Рента пренумерандо – это рента с платежами в начале периодов. Каждый член такой ренты «работает» на один период больше, чем в ренте постнумерандо. Следовательно, наращенная сумма ренты пренумерандо (обозначим ее как ) больше в (1+r) раз аналогичной ренты постнумерандо:

Коэффициент наращения годовой ренты пренумерандо

Аналогично для годовой ренты с начислением процентов m раз в году получим

Для р -срочных рент, у которых m = 1 и m ≠ p, получим:

Точно такая же зависимость наблюдается и между современными стоимостями и коэффициентами приведения рент постнумерандо и пренумерандо:

и т.д.

Важной для практики является рента с платежами в середине периодов. Например, в случаях, когда поступления от производственных инвестиций распределяются более или менее равномерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым смещениям в значениях получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступлений за период относить к середине периодов. Наращенные суммы и современные стоимости таких рент находят умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнумерандо на множитель наращения за половину периода. Таким образом, для современных стоимостей получаются следующие соотношения:

Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (отсроченной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется начать спустя обусловленный срок (льготный период). Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Другое дело современная стоимость ренты.

Пусть рента выплачивается спустя t лет после некоторого начального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна PV. Современная стоимость на начало периода отсрочки в t лет очевидно равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты находим

где - современная стоимость отложенной на t лет ренты.

 

Вечная рента. Под вечной рентой понимается ряд платежей, количество которых не ограничено – теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. На практике прибегают к вечной ренте, например, когда предполагается, что срок потока платежей очень большой и конкретно не оговаривается. Примером могут служить некоторые виды облигаций.

Очевидно, что наращенная сумма вечной ренты равна бесконечно большой величине. Но современная стоимость вечной ренты есть конечная величина, которая определяется из соотношения . Отсюда для вечной ренты находим

Таким образом, современная стоимость вечной ренты зависит только от размера члена ренты и процентной ставки. Отсюда следует, что член вечной ренты равен проценту от ее капитализированной стоимости:

Отдаленные платежи оказывают весьма малое влияние на величину коэффициента приведения.

Для других видов рент получим:

 

 

Рента с периодом платежей, превышающим год. В анализе производственных инвестиционных проектов иногда встречаются с рентами, члены которых выплачиваются с интервалами, превышающими год.

Пусть h – временной интервал между двумя членами ренты, проценты начисляются раз в году. В этом случае

Современная стоимость первого платежа составит на начало ренты величину , второго - , …, последнего - , где n – срок ренты, кратный h. Последовательность дисконтированных платежей представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом , знаменателем и числом членов . Сумма членов такой прогрессии при условии, что , равна: