Лекция 4. Обратная матрица

 

Во множестве действительных чисел есть особенное число, равное единице и обладающее свойством а 1 = 1 а = а. Во множестве квадратных матриц порядка n роль единицы играет единичная матрица того же порядка. В самом деле, легко проверить, что

А Е = Е А = А.

Во множестве действительных чисел для любого числа а, не равного нулю, существует единственное обратное число а ^–1 = 1/ а, такое, что а а ^–1 = 1.

В матричной алгебре существуют матрицы, обладающие аналогичным свойством во множестве квадратных матриц порядка n. При этом роль условия а 0 играет условие .

Квадратная матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной, или неособенной матрицей, а матрица с = 0 называется вырожденной, или особенной матрицей.

 

Матрица А ^–1 называется обратной для квадратной матрицы А n -го порядка, если

А А ^–1 = А^{– 1} А = Е.

Можно доказать, что если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А ^–1 существует, причем единственная.

 

Укажем свойства обратных матриц:

1. (A ^–1)^–1 = A.

2. (A B)^–1 = B ^–1 A ^–1

3. (A^T)^–1 = (A ^–1) ^T.

 

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы для заданной матрицы А:

 

1. Вычисляем определитель матрицы А. Если = 0, то обратная матрица не существует. Если , то выполняем рекомендации следующего пункта.

 

2. Для каждого элемента а_ij матрицы А находим его алгебраическое дополнение А_ij и заменяем в матрице А все элементы их алгебраическими дополнениями:

.

3. Транспонируем матрицу алгебраических дополнений. Полученная матрица называется присоединенной к матрице А и обозначается :

.

4. Умножаем матрицу на множитель 1/ и получаем обратную матрицу А ^–1:

.