Правило 2

Изобразим определитель дважды в виде 9 точек, каждая из которых означает соответствующий элемент. На левом рисунке проведем главную диагональ и два треугольника таким образом, чтобы одна сторона каждого треугольника была параллельна главной диагонали. Произведения элементов главной диагонали и произведения элементов, лежащих в вершинах обоих треугольников, берутся со знаком плюс. На правом рисунке проведем побочную диагональ и два треугольника со стороной, параллельной побочной диагонали. Соответствующие произведения входят в определитель со знаком минус.

Выписываем сумму произведений матрицы, учитывая знаки.

Замечание. Правило Сарруса может быть использовано только для вычисления определителя третьего порядка.

· Вычисление определителя матрицы любого порядка разложение по строке или столбцу

Запишем полученную формулу (1.1) определителя 3-го порядка и вынесем за скобку элементы первой строки:

.

Обозначим члены в скобках соответственно А ₁₁, А ₁₂ и А ₁₃ и назовем их алгебраическими дополнениями элементов - соответственно а ₁₁, а ₁₂ и а ₁₃. Тогда

= а ₁₁ А ₁₁+ а ₁₂ А ₁₂+ а ₁₃ А ₁₃.

Аналогичные равенства можно получить для элементов второй и третьей строки, а также для элементов любого столбца. Для i -й строки или для j -го столбца определителя n -го порядка такие равенства соответственно имеют вид:

= а_{i 1} A_{i 1}+ a_{i 2} A_{i 2}+ … + a_inA_in, где i = 1, … n;

= а _{1 j} A _{1 j} + a _{2 j} A _{2 j} + … + a_njA_nj, где j = 1, … n.

Данная запись определителя называется разложением определителя по строке или столбцу.

 

Введем еще одно понятие.

Минором М_ij элемента a_ij определителя n -го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из вычеркиванием i -й строки и j -го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij.

Например, для определителя третьего порядка

; .

Для определителя n -го порядка можно строго доказать, что

A_ij = (–1) ^{i + j} M_ij.

Этот способ вычисления определителя является универсальным, т.к. позволяет вычислять определители любого порядка.

► Пример 1.18. Вычислить определитель матрицы из предыдущего примера путем разложения его, например, по второй строке.

Решение.

= –2 (3 2 – (–1) (–2)) + 4 (1 2 – (–1) 3) –1 (1 (–2) –3 3) =

= –8 + 20 +11 = 23. ►

 

· Определитель треугольной матрицы

Легко видеть, что если последовательно раскладывать определитель треугольной матрицы по элементам столбца, определитель представляет собой произведение элементов главной диагонали:

.

 

Свойства определителей:

1. Если какая-либо строка или какой-либо столбец определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

Это сразу видно, если разложить определитель по нулевой строке или столбцу. Например:

.

2. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

det A = det .

3. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей, то есть, если

С = АВ, то det C = det A det B.

Отсюда следует, что, если даже , то det(AB) = det(BA).

4. При перестановке любых двух строк или столбцов определитель не изменяется по абсолютной величине, но меняет знак на противоположный.

 

Например, перестановка первой и второй строки дает:

.

5. Определитель, содержащий 2 одинаковых строки или два одинаковых столбца, равен нулю. Действительно, если переставить эти две строки (столбца), то, с одной стороны, определитель должен поменять знак по свойству 4; с другой стороны - остаться неизменным, т. к. поменяли одинаковые строки (столбцы). Это возможно только когда определитель равен нулю.

 

Например:

.

Это свойство можно всегда проверить путем непосредственного вычисления определителя.

6. Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя.

Например,

.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю.

Например, для определителя третьего порядка

=

= .

8. Определитель не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Например:

.