Примеры 1.23

Определить ранг матриц, используя их элементарные преобразования

1. .

Решение. Вычеркивая строки и столбцы, целиком состоящие из нулей, получаем эквивалентную матрицу:

.

Вычисляем единственный минор 2-го порядка — определитель эквивалентной матрицы:

.

2. .

Решение. Проводим следующие элементарные преобразования матрицы. Прибавляем к первой строке третью, затем делим полученную первую строку на 4.

После этого вычисляем из второй строки первую. Наконец, вычеркиваем вторую строку, целиком состоящую из нулей:

.

Ясно, что ранг эквивалентной матрицы не превышает 2. Вычисляем минор 2-го порядка, получаемый вычеркиванием третьего столбца:

.

 

 

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое матрица?

2. Что называется размерностью матрицы?

3. Как записывается матрица размерностью m × n в общем и сокращенном виде?

4. Какая матрица называется квадратной?

5. Что такое главная и побочная диагонали квадратной матрицы?

6. Какая матрица называется диагональной? Единичной? Треугольной? Нулевой?

7. Когда две матрицы равны между собой?

8. Что такое транспонирование матрицы?

9. Что является произведением матрицы А на число λ?

10. Какие матрицы можно складывать и вычитать? Как произвести сложение и вычитание матриц?

11. При каком условии существует произведение двух матриц?

12. Как найти элемент с_ij, стоящий в i -й строке j -м столбце матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В?

13. Выполняется ли коммутативный закон при умножении матриц?

14. В каких случаях матрицу можно умножать саму на себя?

15. Может ли произведение двух ненулевых матриц быть нулевой матрицей?

16. Что называется определителем квадратной матрицы? Как записывается определитель матрицы?

17. Как вычислять определители второго и третьего порядков?

18. Что такое минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы?

19. Каким образом можно вычислить определитель путем разложения его по строке или столбцу?

20. Каковы основные свойства определителей?

21. Какая матрица называется обратной для матрицы А?

22. Какие матрицы имеют обратные матрицы?

23. Каков алгоритм нахождения квадратной матрицы?

24. Что называется рангом матрицы?

25. Что можно сказать о рангах невырожденной и вырожденной квадратных матриц п- гопорядка?