Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основное состояние атома водорода




 

Атом водорода представляет собой систему, состоящую из положительно заряженного ядра (протон – единичный положительный заряд +e) и одного электрона (единичный отрицательный заряд –e), то есть электрон находится в кулоновском поле положительного заряда (рис. 1.6).

Потенциальная энергия точечного заряда в кулоновском поле определяется выражением

,

где e – единичный электрический заряд; r – расстояние между электроном и ядром; – константа в законе Кулона.

Тогда уравнение Шредингера для атома водорода принимает вид

Поскольку кулоновское поле сферически симметричное, для упрощения решения целесообразно заменить декартову систему координат полярной, в которой в качестве трех координат используются радиус-вектор r и два угла: q (тета – угол между радиус-вектором и осью z) и j (фи – угол между проекцией радиус-вектора на плоскость xy и осью x) (рис. 1.7).

 

Рис. 1.7. Связь между декартовыми (x,y,z) и сферическими координатами (r,q,j): x = r×sinJ×cosj, y = r×sinJ×sinj, z = r×cosJ

 

В общем виде волновая функция в полярных координатах является функцией трех переменных: . Поскольку единственный электрон атома водорода находится в сферически симметричном поле ядра, следует ожидать, что решением, описывающим основное (не возбужденное) состояние атома водорода, будет сферически симметричная функция, не зависящая от углов .

Учитывая, что , можно произвести замену переменных в уравнении Шредингера. Для этого проводятся следующие математические преобразования:

,

,

,

,

,

.

Проведя аналогичные преобразования для координат y и z, просуммируем три полученных выражения:

Таким образом, уравнение Шредингера в полярных координатах для основного состояния атома водорода [Y(r)] приобретает следующий вид:

.

Решить уравнение Шредингера значит найти набор возможных волновых функций электрона и соответствующих им значений энергий.

Это уравнение, как и любое дифференциальное уравнение, имеет бесчисленное множество решений, но физический смысл имеют лишь некоторые из них. В данном случае волновая функция описывает реальную физическую систему – электрон в атоме водорода – и связана с вероятностью его нахождения в определенной области пространства, поэтому она должна:

- быть однозначной – вероятность нахождения электрона в элементарном объеме пространства однозначна;

- непрерывной;

- конечной – ни в одной из точек пространства не равна бесконечности;

- убывать до нуля при увеличении расстояния между электроном и ядром.

Для сферически симметричного кулоновского поля одной из функций, удовлетворяющих перечисленным условиям, является функция вида

,

где А – нормирующий коэффициент, а – постоянная величина, определяемая в ходе решения.

Для решения поставленной задачи первую и вторую производные предложенной волновой функции подставляют в уравнение Шредингера, определяют параметр а и значение энергии:

, ,

.

Поскольку , то

,

.

Данное уравнение должно быть справедливым при любых значениях переменной r. А это возможно только в том случае, если левая часть равенства и выражение в скобках в правой части одновременно равны нулю:

,

.

Из второго уравнения определяют постоянную величину а:

.

Определив а, из первого уравнения определяют значение энергии электрона:

Вычисление значения энергии основного состояния электрона в атоме водорода дает величину –13,6 эВ, которая хорошо совпадает с экспериментально определенной энергией ионизации. Полученное значение также совпадает с энергией электрона, находящегося на первой орбите (n=1) атома водорода по теории Бора.

Из принципа нормировки следует, что коэффициент . Тогда волновая функция для основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид

,

где – постоянная величина.

 


Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой





Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 2111. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.021 сек.) русская версия | украинская версия
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7