ЗАДАЧА 3. Для заданных сечений, состоящих из прокатных профилей и полосы b×h, определить положение центра тяжести

 

Для заданных сечений, состоящих из прокатных профилей и полосы b× h, определить положение центра тяжести.

 

 

Вариант	Двутавр	b, см	h, м	Швеллер
		20, 0	1, 2
		18, 0	1, 5
		24, 0	1, 8
		28, 0	2, 0	18а
		24, 0	1, 8	22а
		20, 0	1, 5	24а
		15, 0	1, 2
	24а	12, 0	1, 0
	18а	24, 0	2, 0
	22а	21, 0	2, 4

 

ПРИМЕР 3.

Определить координаты центра тяжести сечения. Сечение состоит из двутавра № 18, швеллера № 18 и пластины 200*60 (рисунок-6)

 

 

Рисунок - 6

 

1 Разобьем сечение на профили проката. Оно состоит из двутавра № 18, швеллера № 18 и пластины 200*60. обозначим их 1, 2, 3.

2 Укажем центры тяжести каждого профиля, используя таблицу приложения, и обозначим их С₁, С₂, С₃, проведем через них оси Х₁, Х₂, Х₃.

3 Выберем систему координатных осей. Ось Y совместим с осью симметрии, а ось Х проведем через центр тяжести двутавра.

4 Определим центр тяжести всего сечения. Так как ось Y совпадает с осью симметрии, то она проходит через центр тяжести сечения, потому Хс=0. Координату Yс определим по формуле:

 

 

Пользуясь таблицами ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89, ГОСТ 8510-86, ГОСТ 8509-86, определим координаты центров тяжести

А₁ = 20, 7 см² 7, 57 см

А₂ = 23, 4 см² y ₂ = 0

А₃ = 20*6 = 120 см² -12 см

Координата у₂ равна нулю, так как ось Х проходит через центр тяжести двутавра. Подставим полученные значения в формулу для определения у_С:

-7, 82 см

1 Укажем центр тяжести сечения на рисунке и обозначим его буквой С. Покажем расстояние у_С = -7, 82 см от оси Х до точки С.

2 Определим расстояние между точками С и С₁, С и С₂, С и С₃, обозначим их а₁, а₂, а₃:

а₁ = у₁ + у_С = 7, 57 + 7, 82 = 15, 39 см

а₂ = у_С = 7, 82 см

а₁ = у₃ - у_С = 12 - 7, 82 = 4, 18 см

3 Выполним проверку. Для этого ось Х проведем по нижнему краю пластины. Ось Y оставим, как в первом решении. Формулы для определения х_С и у_С не изменятся:

х_С = 0,

Площади профилей останутся такими же, а координаты центров тяжести двутавра, швеллера и пластины изменятся.

А₁ = 20, 7 см² 22, 57 см

А₂ = 23, 4 см² 15 см

А₃ = 20*6 = 120 см² 3 см

Находим координату центра тяжести:

7, 18 см

По найденным координатам х_С и у_С наносим на рисунок точку С. Найденное двумя способами положение центра тяжести находится в одной и той же точке. Сумма координат у_С, найденных при первом и втором решении: 7, 82 + 7, 18 = 15 см

Это равно расстоянию между осями Х при первом и втором решении:

18/2 + 6 = 15 см.

 

 

ЗАДАЧА 4

По оси ступенчатого бруса приложены силы и . Необходимо построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить абсолютную деформацию бруса. Принять Е = 2, 1 * 10⁵ МПа.

 

Вариант	F1, кН	F2, кН	l 1, м	l 2, м	l 3, м	А, см2
			1, 0	1, 2	1, 4	4, 0
			1, 2	1, 4	1, 6	6, 0
			1, 4	1, 6	1, 8	3, 5
			1, 6	1, 8	2, 0	4, 5
			1, 8	1, 6	1, 4	4, 0
			2, 0	1, 4	1, 2	6, 5
			1, 8	2, 0	2, 4	7, 5
			1, 6	1, 4	1, 2	6, 0
			1, 4	1, 2	1, 0	5, 0
			1, 2	1, 4	1, 6	4, 0

 

ПРИМЕР 4

Для данного ступенчатого бруса построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений. Определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса (рисунок 7)

 

Дано:

, , м, м, м, А=3, 2 см ², Е=2, 1*10⁵ МПа

 

 

 

Эпюра NZ (кН)

87, 5

	Z

-

-

Эпюра σ (МПа)

-

F1

-

F1

 

Рисунок - 7

 

 

Решение

1 Проводим ось Z в сторону свободного конца бруса и определяем реакцию заделки :

 

 

2 Разбиваем брус на участки, границы которых определяются сечениями, где изменяется площадь поперечного сечения или приложены внешние силы. На каждом из участков проводим характерные сечения 1-1, 2-2, 3-3. С помощью метода сечений определяем продольные силы на каждом из участков бруса: мысленно рассекаем брус в пределах первого участка сечения 1-1, отбрасываем верхнюю часть бруса и заменяем ее действие продольной силой N₁ (рисунок 7) для оставшейся части составляем уравнение равновесия:

 

 

Аналогично находим N₂ и N₃:

 

сечение 2-2 (рисунок 7)

;

 

сечение 3-3 (рисунок 7)

 

.

 

По найденным значениям продольной силы строим соответствующую эпюру. Для этого параллельно оси бруса проведем базовую (нулевую) линию. Левее ее откладываем отрицательные значения N, соответствующие сжатому участку, а правее – положительные значения N, соответствующие растянутому участку (рисунок - 7).

Определяем нормальные напряжения в характерных сечениях бруса по формуле:

 

 

 

.

 

Строим соответствующую найденным значениям эпюру σ (рисунок - 7)

4 Определяем абсолютное удлинение бруса.

В соответствии с законом Гука:

 

где Е=2, 1*10⁵ МПа – модуль продольной упругости для стали.

 

 

Складывая удлинение участков, получим:

 

Учитывая, что I м=10³мм, будем иметь:

 

(87, 5*2, 4+43, 75*2, 2-112, 5*2, 0)=0, 39 мм.

Таким образом, абсолютное удлинение бруса = 0, 39 мм.

ЗАДАЧА 5

По данным задачи 2 для двухопорной балки построить эпоры поперечных сил Qу и изгибающих моментов М_х. Подобрать сечение стального двутавра, приняв

[σ ] = 160 МПа.

 

ПРИМЕР 5

Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Подобрать сечение стального двутавра, приняв [σ ] = 160 МПа.

 

Дано: F₁=24 kH; F₂=36 кН; m₁=18 кНм;

m₂=24 кНм; =2.0 м; м; м.

 

 

 

Рисунок - 8

 

Решение

1 Составляем уравнение равновесия параллельной системы сил, из которых определяем опорные реакции балки:

 

(5)

(6)

 

Из уравнения (6) находим R_AУ:

 

 

Из уравнения (5) находим В:

 

 

Проверяем правильность определения опорных реакций, составляя сумму проекций всех сил на ось У:

 

то есть реакции определены верно.

 

2 Определяем значения поперечной силы Q в характерных сечениях балки, которые обозначим цифрами 1, 2, 3, 4 (рисунок 8 а)

 

Q₁=Q₂^лев=F₁=24 кН;

Q₂^прав=Q₃^лев=F₁+R_АУ=24-13=11 кН;

Q₃^2прав=Q₄=F₁+R_АУ-F₂= -R_ВУ= -25 кН.

 

По найденным значениям строим эпюру, поперечных сил Q (рисунок 8 б).

 

3 Аналогично определяем значения изгибающего момента М в характерных сечениях балки:

М₁=0;

М₂^лев=F₁*2.0=48 кНм

М₂^прав=М₂^лев+m₁=48+18=66 кНм;

М₃=F₁*5.0+m₁+R_АУ*3, 0=120+18-39=99 кНм;

М₄=m₂=24 кНм.

 

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов М (рисунок 8 в).

 

4 По эпюре изгибающих моментов определяем положение опасного сечения балки (сечение, в котором изгибающий момент имеет наибольшее по абсолютной величине значение). В нашем случае – это сечение 3, где М₃=М_maх=99 кНм. Из условия прочности балки на изгиб вычисляем необходимый осевой момент сопротивления:

.

 

В соответствии с ГОСТ 8239-89 принимаем сечение из стального двутавра № 33 с Wх=597 см³. Имеем перенапряжение:

 

 

 

что находится в разрешенных пределах (менее 5%).

 

Ответ: сечение балки двутавр № 33.

V. Список литературы

1. Аркуша. А. И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов: Учеб. для средних спец. учеб. заведений/А. И. Аркуша. — 4-е изд., испр. — М.: Высшая. школа., 2002. — 352 с.:

2. Аркуша А.И. Руководство к решению задач по теоретической механике.

– М.: Высшая школа, 2002