О ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

 

Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении задач, являются большей частью приближенными.

Такими величинами являются, в частности, многие константы, приводимые в справочнике. Например: нормальное ускорение свобод­ного падения g = 9, 81 м/с², отношение длины окружности к диамет­ру p = 3, 14, масса электрона m = 9, 1× 10^{-31 кг и т.п. При более точном вычислении или измерении числовые значения этих величин будут содержать большее число значащих цифр g = 9, 80655 м/с2}, p = 3, 1416, т = 9, 106× 10^{-31 кг. Однако и эти значения, в свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности измерения или в силу того, что получены путем округления еще бо­лее точных значений.}

Часто неопытные лица добиваются при вычислениях получения такой точности результатов, которая совершенно не оправдывается точностью использованных данных. Это приводит к бесполезной зат­рате труда и времени.

Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется определить плотность r вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точностью до 0, 01 г определили массу тела:

т = (9, 38 ± 0, 010) г.

Затем с точностью до 0, 01 см³ был измерен объем тела:

V = (3, 46 ± 0, 01) см³.

Без критического подхода к вычислениям можно получить такой ре­зультат:

r = m/V = 9, 38/3, 46 г/см³ = 2, 71098 г/см³.

Но числа 9, 38 и 3, 46 - приближенные. Последние цифры в этих числах сомнительные. Эти числа при измерении могли быть получе­ны такими: первое - 9, 39 или 9, 37, второе - 3, 45 или 3, 47. В са­мом деле, при взвешивании с указанной выше точностью могла быть допущена ошибка на 0, 01 как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же самое и в отношении объема. Таким образом, плотность тела, если ее вычислять с точностью до пятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказать­ся:

r = 9, 39/3, 45 = 2, 7214 г/см³ или r = 9, 37/3, 47 = 2, 70029 г/см³.

Сравнение всех трех результатов показывает, что они отлича­ются уже вторыми десятичными знаками и что достоверным является лишь первый десятичный знак, а второй - сомнительным. Цифры, выра­жающие остальные десятичные знаки, совершенно случайны и способ­ны лишь ввести в заблуждение пользователя вычисленными результата­ми. Следовательно, работа по вычислению большинства знаков затра­чена впустую. Во избежание бесполезных затрат труда и времени принято вычислять кроме достоверных знаков еще только один сом­нительный.

В рассмотренном примере надо было вести вычисление до второ­го десятичного знака:

r = m/V = 9, 38/3, 46 г/см³ = 2, 71 г/см³.

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следу­ющихправил.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел окончатель­ный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из слагаемых.

Например, при сложении чисел 4, 462 + 2, 38 + 1, 17273 + 1, 0262 = 9, 04093 следует сумму округлить до сотых долей, т.е. принять ее равной 9, 04, так как слагаемое 2, 38 задано с точ­ностью до сотых долей.

2. При умножении следует округлить сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр. Например, вместо вычисления выражения 3, 723 × 2, 4 × 5, 1846, следует вычислять выраже­ние 3, 7 × 2, 4 × 5, 2.

В окончательном результате следует оставлять такое же ко­личество значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления. В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило следует соблюдать и при делении приближенных чисел.

3. При возведении в квадрат или куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например, I, 32² » 1, 74.

4. При извлечении квадратного или кубического корня в ре­зультате следует брать столько значащих цифр, сколько их в под­коренном выражении. Например, 1, 17^1/2 » 1, 08.

При вычислении сложных выражений следует применять ука­занные правила в соответствии с видом производимых действий. Например,

(3, 2 + I7, 062) × 3, 7^1/2 / (5, 1 × 2, 007 × 10³).

Сомножитель 5, 1 имеет наименьшее число значащих цифр - два. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округ­ляться до трех значащих цифр:

(3, 2 + I7, 062) × 3, 7^1/2 /(5, 1 × 2, 007 × 10³)» 20, 3 × 1, 92/(10, 3 × 10³)»

»39, 0/(10, 3 × 10³)» 3, 79 × 10³.

После округления до двух значащих цифр получаем результат 3, 8 × 10^-3.

 

4. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ