Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса

Учебно-методическое пособие

к лабораторным занятиям

 

Составитель Шушарин Анатолий Васильевич

 

Редактор Л. Л. Шигорина

 

 

Подписано в печать 2. 02. 08. Формат 60 х 84 ¹/₁₆.
Бумага Гознак. Отпечатано на ризографе.
Усл. печ. л. 5, 2. Уч.-изд. л. 5, 0.

Тираж 200 экз. Заказ 4.

Цена договорная

 

Отпечатано в Издательском центре ЧИПС

454111 Челябинск, ул. Цвиллинга, 56

Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса

В результате изгиба балки ось становится криволинейной (см. рис. 11.1), центры поперечных сечений перемещаются от первоначальной прямой линии и поворачиваются на какой-то угол (рис. 11.1). За прогиб V принимают перемещение центра сечения перпендикулярно первоначальной оси. Для сечения К прогиб составит отрезок КК₁.

Рис. 11.1

Для определения перемещений сечений балки пользуются дифференциальным уравнением изогнутой оси балки:

, (11.1)

где Е - модуль продольной упругости,

I - осевой момент инерции сечения,

- вторая производная от прогиба,

М - изгибающий момент.

В точке К₁ проведем касательную к изогнутой оси балки, которая образует с осью Z угол, так как линии, образующие углы, перпендикулярны. Из высшей математики известно, что первая производная от функции равна тангенсу угла наклона касательной, т.е.

Для малых значений угла справедливо равенство: . Следовательно, первая производная от прогиба представляет собой угол поворота сечения.