Теорема о взаимности работ и взаимности перемещений

Пусть балка нагружается двумя силами. Рассмотрим два состояния: 1) балка нагружается сначала силой , а затем - силой ; 2) балка нагружается сначала силой , а затем - силой (см. рис. 11.3).

I состояние II состояние

Рис. 11.3

Рассмотрим I состояние. Вначале к сечению 1 прикладывается сила , в результате чего центр сечения 1 переместится на величину . Здесь первый индекс означает, что перемещается сечение 1, второй индекс - от действия силы , в направлении ее действия. После приложим силу в сечении 2. В результате ее действия сечение 2 переместится на величину , а сечение 1 - .

Определим работу, совершаемую силами и . При нагружении только силой , работа равна:

Число 1/2 взято потому, что сила постепенно увеличивается от нуля до конечного значения и с увеличением силы растет перемещение. Аналогично:

Но при нагружении силой переместится и сечение 1, а, следовательно, сила совершит путь . Поскольку сила в данном перемещении постоянна, то выполняемая ею работа равна:

Во II состоянии будут такими же, как и в I состоянии. Определим работу :

.

Работа сил и , совершаемая при I и II состояниях должна быть равна, поэтому:

=

или

" Работа сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе сил второго состояния на перемещение первого состояния" (Теорема Бетти).

Если примем = =1 (без размерности), то получим теорему о взаимности перемещений (теорему Максвелла):

где - перемещения, вызываемые единичными силами.

" Перемещения точки приложения единичной силы по ее направлению, вызванное второй единичной силой, равно перемещению точки приложения второй единичной силы по направлению последней, вызванному действием первой единичной силы".