Интеграл Мора для определения перемещений

Определим потенциальную энергию бруса при чистом изгибе. Рассмотрим бесконечно малый отрезок балки длиной dz (см. рис. 11.4). Под действием момента он изогнется и радиус кривизны составит, а крайние сечения составят угол d.

Рис. 11.4

Из теоретической механики известно, что работа, совершаемая моментом, равна произведению момента на угол поворота:

где - потенциальная энергия отрезка dz балки.

Множитель 1/2 берется потому, что с возрастанием момента М прямо пропорционально возрастает угол d, т.е. момент - не постоянная величина, он изменяется от нуля до конечного значения М.

Из рис.11.4 видно:

Тогда, подставив вместо в формулу (11.14), получим:

По формуле (10.2) имеем:

1/ =M/EI,

где Е - модуль продольной упругости,

I - осевой момент инерции сечения.

Подставив в формулу (11.15), получим:

,

Для определения потенциальной энергии балки необходимо взять интеграл по ее длине:

Если пренебречь перемещениями от поперечной силы, то от силы в сечениях балки будут возникать моменты . Тогда потенциальная энергия будет равна:

,

а от силы :

.

Пусть к балке приложены силы , тогда потенциальная энергия равна:

Согласно закона сохранения энергии, потенциальная энергия равна совершаемой работе:

W = U; W₁₁ = U₁₁; W_{2 2}= U₂₂.

Поэтому из формул (11.11) и (11.17) следует:

Как известно, если работу совершает сила, то она равна произведению силы на перемещение, а если момент - произведению момента на угол поворота. Поэтому для первого случая:

,

для второго:

.

При нагружении балки силой , из формулы (11.18) получим:

Из формулы (11.19) следует, что если =1 (безразмерная величина), то перемещение в точке приложения силы можно определить по формуле:

где М₁ - момент от единичной силы,

- перемещение в точке приложения единичной силы от силы .

Поскольку к балке может быть приложена различная нагрузка, то формулу можно записать следующим образом (формула Мора):

где - перемещение от обобщенной нагрузки,

М₁ - момент от единичной силы или единичного момента, приложенных в точке, где следует определить перемещение,

Мp - момент от обобщенной нагрузки.

Используя формулу (11.20), можно определять перемещения в любой точке. Для этого в определяемой точке прикладывается единичная сила, если определяется прогиб, или единичный момент, если определяется угол поворота. Если знак у положительный, то перемещение имеет то же направление, что и единичная сила или момент, если же знак отрицательный - то противоположное.

Пример: Определить прогиб посредине пролета для двухопорной шарнирной балки, нагруженной силой F (см. рис. 11.5).

 

Рис.11.5

Для определения прогиба в точке С, приложим единичную силу и направим ее вверх. Определим моменты от нагрузки:

момент от единичной силы:

Поскольку задача симметричная, то интеграл формулы Мора можно определять от 0 до l /2, умножив на 2:

 

 

Эта формула используется в лабораторной работе № 4.