Случайные погрешности прямых измерений

 

Прямые измерения одной и той же величины дают после многократных повторений процесса измерения совокупность случайных величин, состоящую из конечного число элементов (n → ∞) а ₁, а ₂ ,......, a _n.

Истинное значение измеряемой величины никогда неизвестно. Обозначим его через а (без индекса). Тогда истинная абсолютная погрешность любого i - того измерения равна

Δ а i = | аср - ai |.

(1)

Для серии n измерений получим

Δ а1 = | аср – a1 |, Δ а2 = | аср – a2 |, ………………. Δ аn = | аср – an |.

(2)

cовокупность абсолютных погрешностей Δ а _i, содержащая n - ное число элементов (n не ∞). Величины Δ а _i могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Следует отметить, что для совокупности абсолютных погрешно­стей выполняются два утверждения:

1) при большем числе измерений случайные погрешности одина­кового значения, но разного знака встречаются одинаково часто.

2) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, то есть вероятность появления погрешности уменьшается с ростом значения погрешности.

Очевидно, что обе совокупности - результаты серии прямых измерений величины а _i и совокупность абсолютных погрешностей Δ а _i описываются нормальным распределением Гаусса для конечного, но достаточно большого числа n измерений. Для совокупности n случайных измерений а _i величины а, среднее равно истинному значению величины а. Для распределения абсолютных погрешностей это среднее равно нулю. Покажем это:

a 1 = а - Δ a 1 а 2 = а - Δ а 2 …………………. а n = а - Δ а n.

(3)

Суммируя левую и правую части равенств, получим

(4)

Если обозначить среднеарифметическую величину

то

(5)

При n достаточно большом

(6)

При ограниченном числе измерений теория вероятностей даёт вместо теоретических, величии Δ а _i и σ конкретные «измеренные» величины абсолютной ошибки Δ а серии измерений при заданной надежности α и дисперсии σ.

Обычно в эксперименте производится небольшое число измерений (n ≤ 20) и распределение Гаусса становится несправедливым. Для оценки границ доверительного интервала в этом случае вводится новый коэффициент t_{α, n}. Этот коэффициент был предложен в 1908 году английским математиком B.C. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом " Стьюдент" - студент. Задавая надежность α по таблицам Стьюдента, определим коэффициент t_{α, n}, который необходим для вычисления абсолютной погрешности Δ а серии измерений. Коэффициенты Стьюдента t_α больше единицы, это значит, что доверительный интервал увеличивается в несколько раз, чтобы при малом числе измерений получить требуемую надёжность результата. Распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса и t_α → 1 при n → ∞.

В теории погрешностей в качестве единицы ширины доверительного интервала выбрана так называемая средняя квадратичная погрешность результата измерений:

(7)

Было предложено в случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях) вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:

(8)

где t_{a, n} - некоторое, зависящее от a и n число, называемое коэффициентом Стьюдента. Зависимость t_{a, n} от n понятна: чем больше n, тем меньше отличается от истинного значения, и тем меньше будет доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит меньше t_{a, n}.