Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Случайные погрешности прямых измерений




 

Прямые измерения одной и той же величины дают после многократных повторений процесса измерения совокупность случайных величин, состоящую из конечного число элементов (n → ∞) а1, а2, ......, an.

Истинное значение измеряемой величины никогда неизвестно. Обозначим его через а(без индекса). Тогда истинная абсолютная погрешность любого i - того измерения равна

Δаi = |аср - ai|. (1)

Для серии n измерений получим

Δа1 = |асрa1|, Δа2 = |асрa2|, ………………. Δаn = |асрan|. (2)

cовокупность абсолютных погрешностей Δаi, содержащая n - ное число элементов (n не ∞). Величины Δаi могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Следует отметить, что для совокупности абсолютных погрешно­стей выполняются два утверждения:

1) при большем числе измерений случайные погрешности одина­кового значения, но разного знака встречаются одинаково часто.

2) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, то есть вероятность появления погрешности уменьшается с ростом значения погрешности.

Очевидно, что обе совокупности - результаты серии прямых измерений величины аi и совокупность абсолютных погрешностей Δаi описываются нормальным распределением Гаусса для конечного, но достаточно большого числа n измерений. Для совокупности n случайных измерений аi величины а, среднее равно истинному значению величины а. Для распределения абсолютных погрешностей это среднее равно нулю. Покажем это:

a1 = а - Δa1 а2 = а - Δа2 …………………. аn = а - Δаn. (3)

Суммируя левую и правую части равенств, получим

(4)

Если обозначить среднеарифметическую величину

то (5)

При n достаточно большом

(6)

При ограниченном числе измерений теория вероятностей даёт вместо теоретических, величии Δаi и σ конкретные «измеренные» величины абсолютной ошибки Δа серии измерений при заданной надежности α и дисперсии σ.

Обычно в эксперименте производится небольшое число измерений (n ≤ 20) и распределение Гаусса становится несправедливым. Для оценки границ доверительного интервала в этом случае вводится новый коэффициент tα,n. Этот коэффициент был предложен в 1908 году английским математиком B.C. Госсетом, публиковавшим свои работы под псевдонимом "Стьюдент" - студент. Задавая надежность α по таблицам Стьюдента, определим коэффициент tα,n, который необходим для вычисления абсолютной погрешности Δа серии измерений. Коэффициенты Стьюдента tα больше единицы, это значит, что доверительный интервал увеличивается в несколько раз, чтобы при малом числе измерений получить требуемую надёжность результата. Распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса и tα → 1 при n → ∞.

В теории погрешностей в качестве единицы ширины доверительного интервала выбрана так называемая средняя квадратичная погрешность результата измерений:

(7)

Было предложено в случае небольшого числа измерений (именно так обстоит дело в учебных лабораториях) вычислять полуширину доверительного интервала по формуле:

(8)

где ta,n - некоторое, зависящее от a и n число, называемое коэффициентом Стьюдента. Зависимость ta,n от n понятна: чем больше n, тем меньше отличается от истинного значения, и тем меньше будет доверительный интервал, точнее результат измерения, а значит меньше ta,n.

 







Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 180. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2018 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия