КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Механические колебания - это многократно повторяющиеся движения тела, т.е

Механические колебания - это многократно повторяющиеся движения тела, т.е. движения, при которых тело периодически (через равные промежутки времени) проходит через одно и то же положение в одном и том же направлении.

Простейшими и в то же время часто встречающимися являются гармонические колебания - такие колебания, которые происходят по закону синуса (косинуса).

В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и другие. Рассмотрим свободные колебания.

Свободными называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того, как она однажды была выведена из положения равно­ве­сия. Различают незатухающие и затухающие свободные коле­ба­ния, хотя, строго гово­ря, незатухающих свободных колебаний в при­роде не бывает.

Рассмотрим свободные колебания на примере пружинного маятника, представляющего собой тело (материальную точку), подвешенное на пружине (рис. 6.1). В состоянии равновесия сила тяжести тела Р = m g (m - масcа тела, g – ускорение свободного падения) уравновешивается упругой силой, действующей на тело со стороны пружины F_{0 упр} = k х_о (k - коэффициент жесткости пружины, x₀ - равновесное удлинение пружины).

Таким образом,

 

kx0 = mg.

(1)

 

Если тело вывести из состояния равновесия (например, оттянуть вниз), а затем отпустить, то оно начнет колебаться. Это и есть свободные колебания. Выясним характер этих колебаний, пренебрегая пока силами трения.

На колеблющееся тело по-прежнему действуют сила тяжести mg и упругая сила F_упр = - kх₁, где x₁ - общее удлинение пружины (см. рис. 1),

 

Рис. 1.

Пружинный маятник

 

разное для различных моментов времени. Знак минус указывает на то, что упругая сила направлена в сторону, противоположную смещению. Следовательно, уравнение движения запишется так:

(2)

Или, учитывая равенство (1),

(3)

Обозначив (x - смещение тела от положения равновесия), перепишем выражение (3) в виде

или

(4)

k и m - величины сугубо положительные, поэтому их отношение можно представить в виде квадрата некоторого числа тогда уравнение (4) запишется как

(5)

 

Решение уравнения (5) имеет вид

 

(6)

 

Выражение (6) называют уравнением колебаний. Здесь А и - постоянные, зависящие от начальных условий; А называют амплитудой колебаний, a - начальной фазой, ( w ₀t+ a ) - фазой колебаний; - циклической частотой колебаний (число колебаний за секунд). Часто для характеристики колебаний указывают период колебаний – T ( время одного полного колебания) и частоту колебаний (число колебаний за единицу времени). Очевидно, что

(7)

Выражение (6) показывает, что при данных условиях колебания являются гармоническими и незатухающими (рис. 2).

 

 

Как уже отмечалось, строго незатухающих свободных колебаний не бывает. Дело в том, что энергия колеблющейся системы постепенно расходуется на преодоление сил трения, которые всегда имеют место, поэтому амплитуда колебаний уменьшается. Говорят, что колебания носят затухающий характер.

При небольших скоростях движения тела сила трения пропорциональна скорости :

 

(8)

Уравнение движения маятника с учетом сил трения запишется так:

Или, введя обозначения и перенеся все слагаемые влево от знака равенства, получим

 

(9)

 

Решением уравнения (9) является выражение

 

,

(10)

 

в котором - циклическая частота свободных затухающих колебаний; - амплитуда колебаний, убывающая с течением времени по экспоненте; - начальная амплитуда. График уравнения (10) представлен на рис. 3.

 

 

Величина характеризует скорость затухания. Она называется коэффициентом затухания.

Видно, что b = 1 / t_e, где t_e - время колебаний, за которое ампли­туда уменьшилась в e раз (время релаксации).

Скорость затухания характеризуют и двумя другими величинами:

1) декрементом затухания s = A_N / A_N+1 = e ^bТ, равным отношению двух соседних (отстоящих по времени на период T) амплитуд;

2) логарифмическим декрементом затухания, равным, по определению, натуральному логарифму от декремента затухания:

 

d = ln s = b T.

(11)

 

Оказывается, d = 1/N_e, где N_e - число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

 

Описание установки, метод определения b

Установка (рис. 4) включает штатив 1, на кронштейне 2 которого закреплена пружина 3. К нижнему концу пружины подвешена платформа со съемными грузами 4.

 

Рис. 4.

Пружинный маятник: (1 – штатив, 2 – кронштейн, 3 – пружина, 4 съемные грузы)

 

Для получения быстро затухающих колебаний платформу с грузами помещают в сосуд с водой. Коэффициент затухания определяют из следующих соображений: при затухающих колебаниях амплитуда N - го колебания связана с начальной амплитудой А₀ соотношением

 

где t_N - время N колебаний, за которое амплитуда уменьшилась от до A_N. Отсюда

(12)