Для малых углов, выраженных в радианах

 

(7)

 

и из (6) – (7) следует:

(8)

Ускорение является второй производной от смещения, т.е. , поэтому:

(9)

Введем обозначение:

= 2

(10)

Подставляя (10) в (9), получим уравнение движения математического маятника, являющееся однородным дифференциальным уравнением второго порядка:

 

(11)

 

Решение этого уравнения может быть представлено в виде:

 

(12)

 

или

(13)

(в этом можно убедиться, непосредственно подставляя (12) в (11)).

Таким образом, колебание маятника является гармоническим (т.е. смещение маятника от положения равновесия меняется с течением времени по закону синуса или косинуса). В формулах (12), (13):

А – амплитуда колебания (модуль наибольшего отклонения колеблющейся величины от равновесного значения S =0);

T – период колебания (время, за которое совершается одно полное колебание);

n = 1/ T – частота колебаний (число колебаний в единицу времени);

w = 2p / Т – циклическая (угловая, круговая) частота (число колебаний за 2p секунд);

j = wt + j₀ – фаза колебания (выражение, стоящее под знаком синусаили косинуса). Фаза однозначно определяет при заданной амплитуде в любой момент времени значение колеблющейся величины.

j ₀ – начальная фаза колебания (при t = 0). Слово " фаза" – греческого происхождения, означает ступень, стадию развития какого–либо явления: по значению фазы можно определить, какая часть периода прошла от момента начала колебания: j = 2 pt / T (при j₀ = 0). Откуда t = jT/( 2 p).

Таким образом, период колебаний маятника T = ; где, согласно (10), . Или

T = 2

(14)

где l – длина математического маятника, g – ускорение свободного падения.

Таким образом, при малых начальных отклонениях от положения равновесия период колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением свободного падения и не зависит от его массы, а также от начального отклонения от положения равновесия.

С другой стороны, T = , где t – время N полных колебаний. Эти соотношения могут быть использованы для расчета ускорения свободного падения:

(15)

Если измерение длины маятника затруднено, это осложнение легко обойти, измерив периоды колебаний Т₁ и Т₂ и разность длин маятников ( – ) в этих экспериментах:

T1 = 2 и T2 = 2 .

(16)

Отсюда

g = 4 2

(17)

Порядок выполнения работы, обработка результатов измерений:

1. Отклонить маятник от положения равновесия на 5 - 6⁰ и предоставить ему возможность свободно колебаться;

2. Включить секундомер, когда маятник проходит положение равновесия, отсчитать промежуток времени t = 50 полных колебаний. Измерения (t_1, t_2, t₃) повторяют три раза и находят среднее время τ _1ср= 50 колебаний при длине маятника l _1. Вычисляют абсолютные погрешности отдельных измерений Δ τ _1, Δ τ _2, Δ τ ₃ и среднюю абсолютную погрешность Δ τ _1ср.

3. Разделить τ _1ср на n = 50, найти среднее время Т₁ одного колебания маятника при длине l ₁:

(18)

4. Проделать п.п. 1, 2, 3 при другой длине маятника l _2, изменив ее на 12 - 15 см. В этом случае период будет Т₂:

(19)

5. Результаты измерений и вычислений записать в таблицу.

6. Пользуясь формулой (17), вычислить g, погрешности.

7. Результаты измерений записывают в виде: .

Таблица. Определение ускороения свободного падения

№ п/п	Длина, м	n	τ, с	Τ, с	g, м/с2	Δ g, м/с2	, %
ср. зн.
ср. зн.

Контрольные вопросы:

1. Каковы условия возникновения колебаний. Какие колебания называются гармоническими. Назовите основные характеристики гармонического колебания. Какая колебательная система называется математическим маятником.

2. Вывести уравнение движения математического маятника.

3. Вывести формулу периода колебаний математического маятника.

4. Записать решение уравнения движения математического маятника и дать определение всех величин, входящих в данное уравнение.

5. Почему g не определяется непосредственно по формуле для периода математического маятника.

6. Получить расчетную формулу для определения ускорения свободного падения g.

7. Указать силы, действующие на маятник, находящийся в положении равновесия.

 

Лабораторная работа № 1-3

 

Определение коэффициента вязкости жидкости методом Стокса

 

Цель работы: изучение динамики движения тела в вязкой жидкости и экспериментальное определение коэффициента вязкости жид­кости.

Оборудование:

1. Сосуд с вязкой жидкостью;

2. Шарики;

3. Микрометр или штангенциркуль;

4. Линейка или мерная лента;

5. Секундомер.