Сложные проценты (процент на процент - капитализация)

 

Антисипативный – предварительный расчёт

Декурсивный - в конце периода

5.1.Декурсивный метод:

Ко – первоначальный капитал: используя формулу начисления простых процентов,

получим:

 

В конце первого года

К1 = Ко + Ко * р/100 = Ко (1 + р/100) = Ко * r

В конце каждого последующего начисляют простые проценты на предыдущие:

n

K n = Ko * r ↑; r = 1+ p/100

 

Определение процентной ставки

/----------------------/

N Kn

р = 100 * (√ --------------- - 1

/ Ko

Определение длительности расчётного периода

 

Log Kn - log Ko

n = -----------------------------

log (1 + p/100)

 

Совокупный сложный процентный платёж (капитализация) составит:

 

n

I = Kn - Ko = Ko (r ↑ - 1)

5.2.Антисипативный метод:

Ко = К1 - I = K1 – K1*q/ 100= K1(100- q)/100

Отсюда

Ко*100

К1 = ------------

Q

Формула для расчёта капитала Кn в конце n- го года составит

N

Kn = Ko (-----------)

Q

Наращивание и амортизация займа

 

Наращенный капитал при годовом начислении сложных процентов по ставке р% через “n “ лет возрастает до величины Кn

 

P n n

Кn = Ко (1+ ------) или Кn = Ко * r

Дисконтирование (уценка) от времени капитала Кn

N Kn -n

Ко = Кn / r = --------- = Kn (1 + i)

R ^n

 

Типовая задача по аккумуляции вкладов:

Заёмщик делает ежегодный (для простоты) вклад «a» рублей для накопления некоторого необходимого в будущем капитала.(пренумерандо)

 

Конечная величина первого вклада в “n” – году, увеличенный на сложные проценты, составит

n

а * r ↑

Второй вклад составит

N-1

a * r↑

так как он вложен на (n - 1)

Последний вклад, внесённый в n –ый год, имеет величину

 

a * r

Совокупный вклад как сумма всех вкладов составит

 

n

Кs = ∑ а * r ↑

n

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем

n

R ↑ ─ 1

Кs = а * r ----------------

R ─ 1

n

R − 1

r * ------------- -- коэффициент аккумуляции вкладов.

R − 1

Если вложения “a” в течении нескольких “n” лет производятся в конце каждого года (постнумерандо), то

n

R - 1

Ks = a * ------------

R - 1

Текущая стоимость ряда вкладов постнумерандо

Ряд вкладов дисконтируется на начальный момент времени:

Со = а1/r + a2/ r^2 + a3/r^3 + …..+ an/r^n, где

r = 1 + p/100

Если все вклады одинаковы, а дисконт не меняется, то применяя изложенный выше метод получаем:

Со = а (1/r + 1/r ^2 + ….+ 1/r ^n)

R ^ n - 1

Co = a ------------------

R ^ n (r - 1)

Со является текущей дисконтированной стоимостью вкладов постнумерандо

Временная уценка капитала

Общие простейшие формулы:

∑ возврата = ∑ кредита + ∑ процента или

 

К возврата = ∑ кредта + ∑ кредита * р/100 или К возвр = ∑ кред(1 + i) или это же

К = Ко (1 + i), тогда «сегодняшняя» (текущая) стоимость выданного кредита от будущей суммы дохода равна:

 

Ко = К* ----------- (i = p/100)

(1 + i)

 

Обратная задача приведения накопленного в будущем капитала к сегодняшней стоимости

2 3 n

PV(K) = a (1/r + 1/r + 1/ r + ……+ 1/r) (r = 1 + p/100)

Используя сумму геометрической прогрессии, получаем

 

n

r ↑ - 1

PV(K) = a * -------------------

n

r ↑ (r – 1)

Изящный метод обоснования этой формулы:

 

Задача амортизации займа (погашения кредита). Наиболее популярна аннуитетная модель погашения:

Сумма дисконтированных аннуитетов за срок погашения должна быть равна сумме займа К

 

A a a

K = ----- + ----- + ……..+ ------- (1)

r r ^2 r ^n

 

Умножим левую и правую часть уравнения (1) на r (r = 1 + p/100)

 

K *r = a + a/r + a / r^2 + ……+ a / r ↑ (n - 1) (2)

Вычтем из уравнения (2) уравнения (1), получим

n

K*r − K = a − a/ r ↑, K(r – 1) = a (1 – 1/r^n)

↑

N n