Решение. 1. Рисуем расчетную схему

1. Рисуем расчетную схему. Указываем на ней направления скоростей каждого тела.

 

2. Вычисляем скорость груза 1

В момент времени скорость равна

3. Вычисляем ускорение груза 1

4. Для определения угловой скорости и углового ускорения тела 2 запишем уравнение, связывающее скорость груза v и угловую скорость колеса 2. ω ₂ и ω ₃. В соответствии со схемой механизма

Отсюда

5. Запишем уравнение, связывающее угловые скорости колес 2 ω ₂ и 3 - ω ₃.

Откуда вычисляем- ω ₃

или с учетом (5) после подстановки данных

В момент времени t₁

Угловое ускорение колеса 3

6. Определим скорость точки М, её центростремительное, вращательное и полное ускорения

Рис.2

Результаты вычислений для заданного момента времени с приведены в таблице

		3, 85	1, 54		592, 9	62, 7	640, 2

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 2.

 

Пример 2

Рассмотрим пример решения задания для механизма, кинематическая схема которого приведена на рис. 3., где ведущим звеном является груз. Задано: закон изменения вертикальной координаты груза x (t) = 30 + 10 t ², см; радиусы колес R₁ = R₃ = 10 см, R₂ = 30 см, r₂ = 20 см. Определить скорость и ускорение точки М для момента времени t₁ = 1 c.

Рис.3

Решение

Обозначим и покажем на рис.3 точки механизма А, В, D₁, D₂, через которые передается движение от одного звена (ведущего) к другому (ведомому).

Решение задачи начнем с определения скорости груза. Поскольку груз совершает поступательное движение, его можно считать точкой, движение которой задано координатным способом, и движется только вдоль оси x. Проекцию скорости груза на эту ось определим как производную от координаты x по времени

, при t ₁ = 1 с v_x= 20 см/с.

Поскольку знак проекции скорости груза на ось x положительный, вектор скорости направлен вниз, т.е. в положительном направлении оси x.

Рис.4

Скорости всех точек нити, на которой висит груз, одинаковы (нить считается нерастяжимой), скорость точки схода нити с барабана (колеса 1) равна скорости груза. Но точка А схода нити в данный момент времени принадлежит и колесу 1, совершающему вращательное движение вокруг неподвижной оси, что позволяет определить его угловую скорость. Направление угловой скорости колеса 1 соответствует направлению скорости точки А. Запишем теперь алгебраическое значение угловой скорости колеса 1

, при t ₁ = 1с w_{1 z}= 2рад/с.

Колеса 1 и 2 находятся в зацеплении и имеют общую точку В (см. рис.4). Поэтому скорости точек колес, находящихся на их ободьях, одинаковы. При записи алгебраического значения угловой скорости колеса 2 учтем, что внешнее зацепление меняет направление вращения на противоположное

, при t ₁ = 1 с w_{2 z} = 1рад/с.

Одинаковы также скорости точек D₁ и D₂, расположенных на шкивах ременной передачи. Однако здесь направление вращения не изменяется, поэтому

, при t ₁= 1 с

Определим теперь скорость точки M колеса 3 в момент времени t ₁ = 1 с. Величина скорости – это произведение модуля угловой скорости на расстояние от точки M до оси вращения, которое равно радиусу , Направление вектора скорости покажем перпендикулярно радиусу, соединяющему точку с осью вращения, в соответствии с направлением вращения (рис. 4).

Для нахождения ускорения точки M необходимо знать угловое ускорение колеса 3. Алгебраическое значение углового ускорения определим как производную по времени от алгебраического значения угловой скорости Алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, следовательно, вращательное движение является ускоренным.

Ускорение точки M определим как геометрическую сумму векторов вращательного и центростремительного ускорений, модули коРис.5 торых вычислим по формулам:

,

откуда получим полное ускорение точки M

.

Векторы ускорений показаны на рис. 5. Движение колеса 3 ускоренное, поэтому вращательное ускорение точки M направлено в ту же сторону, что и ее скорость. Центростремительное ускорение всегда направлено к оси вращения.

Если в условии будет задан не закон движения груза x(t), а зависимость угла поворота колеса 1 от времени, например, j ₁(t) = 3 +t ², рад, изменения в решении задачи коснутся только начального этапа. Алгебраическое значение угловой скорости колеса 1 определим как производную от его угла поворота по времени

Дальнейшее решение задачи не отличается от приведенного примера.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ К3

Пример 1. Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути (рис. К3-1).

Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент времени = 2 м/с,

r = 0.6 м, R = 1 м.

Решение

Катушка совершает плоскопараллельное движение. Так как качение происходит без скольжения, то скорость точки Р касания катушки с неподвижной поверхностью , следовательно эта точка является мгновенным центром скоростей (МЦС). Вектор скорости точки А перпендикулярен АР и направлен в сторону качения катушки, а численное значение скорости пропорционально расстоянию от точки А до МЦС:

,

где

1, 49 м.

Определим угловую скорость катушки

1, 35 рад/с.

Так как скорости точек О и В катушки также пропорциональны их расстояниям до точки Р, то

0, 81 м/с;

= 0, 54 м/с.

Направление вращения катушки, а, следовательно, и направления скоростей точек В и О, определяются направлением вектора скорости по отношению к МЦС.

Пример 2. Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью = = 1 м/с.

Найти в положении, указанном на рис. К3-2, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 1, 2 м, АС = ВС.

Решение

Стержень АВ совершает плоскопараллельное движение. Так как скорости точек А и В направлены параллельно соответствующим направляющим, вдоль которых скользят ползуны, то, восстанавливая из точек А и В перпендикуляры к скоростям этих точек, определим положение мгновенного центра скоростей стержня АВ – точка Р. Треугольник АВР является равнобедренным, следовательно, АВ = ВР = 1, 2м.

Скорость точки А пропорциональна расстоянию от этой точки до точки Р: , где 2, 08 м.

Вычислим угловую скорость стержня АВ

0, 48 рад/с.

Скорость точки В определим по формуле

= 0, 48·1, 2 = 0, 58 м/с.

Для определения скорости точки С найдем расстояние РС с помощью теоремы косинусов

1, 59 м.

Тогда скорость точки С

= 0, 76 м/с.

Пример 3. Кривошип ОА длиной r = 1 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с, приводя в движение шатун АВ длиной l = 4 м, как показано на рис. К3-3.

Определить скорость ползуна В, угловую скорость шатуна в двух положениях механизма, когда угол поворота кривошипа j = 0 и j = 90⁰.

Рис.К3-3

Решение

Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. При этом , так как точка А принадлежит кривошипу ОА, совершающему вращательное движение. Скорость ползуна В параллельна направляющим. Численное значение скорости точки А

=2·1=2 м/с.

Найдем положение мгновенного центра скоростей, восстанавливая перпендикуляры к скоростям точек А и В из этих точек. При угле j = 0 (см. рис. К3-3, а) перпендикуляр к скорости и перпендикуляр к направлению пересекаются в точке В. Следовательно, точка В является в этом положении механизма мгновенным центром скоростей и . Это положение механизма называют «мертвым». Найдем угловую скорость шатуна

= 0, 5 рад/с.

На рис. К3-3, а показано распределение скоростей точек шатуна.

При угле поворота кривошипа j = 90⁰ скорости и направлены параллельно, а перпендикуляры к ним пересекаются в бесконечности. Следовательно, в данный момент времени имеет место мгновенное поступательное распределение скоростей, то есть все точки шатуна АВ имеют одинаковые скорости, равные , при этом угловая скорость шатуна w_AB = 0 (рис. К3-3, б).

Пример 4. Кривошип ОА = 0, 5м вращается с угловой скоростью w _0А = 10 рад/с и приводит в движение шатун АВ = 4 м.

Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С (АС = 2, 5м), если угол поворота кривошипа j = 45⁰ и ОА ^ АВ (рис.К3-4).

Решение

Так как кривошип ОА совершает вращательное движение, то

Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Найдем мгновенный центр скоростей для данного положения шатуна – точку Р на пересечении перпендикуляров к скоростям точек А и В, восстановленных из этих точек. Треугольник РАВ равнобедренный, при этом АВ = АР = 4 м.

Найдем угловую скорость шатуна АВ

1.25 рад/с.

 

Скорости точек В и С пропорциональны их расстояниям до МЦС:

,

 

где ВР = 5, 65 м;

= 1, 25·5, 65 = 7, 07 м/с;

, где СР = 4, 72 м;

= 1, 25·4, 72 = 5, 9 м/с.