Нормальный закон зависит от двух параметров
. Подберем эти параметры так, чтобы сохранить первые два момента (математическое ожидание и дисперсию статистического распределения).
1. Вычислим сначала относительные частоты боковой ошибки по формуле
.
2. Вычислим приближенно статистическое среднее
ошибки наводки, причем за представителя каждого разряда примем его середину.
3. Для определения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент по формуле
.
4. Вычислим приближенно дисперсию по формуле
и среднеквадратичное отклонение по формуле
.
Результаты расчетов сведем в таблицу.
Число опытов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начало разряда
| -4
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
|
Конец разряда
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0, 012
| 0, 050
| 0, 144
| 0, 266
| 0, 240
| 0, 176
| 0, 092
| 0, 020
|
| -3, 500
| -2, 500
| -1, 500
| -0, 500
| 0, 500
| 1, 500
| 2, 500
| 3, 500
|
| -0, 042
| -0, 125
| -0, 216
| -0, 133
| 0, 120
| 0, 264
| 0, 230
| 0, 070
|
| 12, 250
| 6, 250
| 2, 250
| 0, 250
| 0, 250
| 2, 250
| 6, 250
| 12, 250
|
| 0, 147
| 0, 313
| 0, 324
| 0, 067
| 0, 060
| 0, 396
| 0, 575
| 0, 245
|
| 0, 168
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2, 126
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2, 098
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1, 448
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем параметры
нормального закона так, чтобы выполнялись условия
.
Таким образом
.
Построим теперь сравнительные диаграммы функций распределения
и
. Для этого вычислим значения законов теоретических и экспериментальных распределений в границах разрядов и построим таблицу:
| -4
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
|
|
f*(x)
| 0, 012
| 0, 050
| 0, 144
| 0, 266
| 0, 240
| 0, 176
| 0, 092
| 0, 020
| 0, 000
|
F*(x)
| 0, 012
| 0, 062
| 0, 206
| 0, 472
| 0, 712
| 0, 888
| 0, 980
| 1, 000
| 1, 000
|
f(x)
| 0, 004
| 0, 025
| 0, 090
| 0, 199
| 0, 274
| 0, 234
| 0, 124
| 0, 041
| 0, 008
|
F(x)
| 0, 002
| 0, 014
| 0, 067
| 0, 210
| 0, 454
| 0, 717
| 0, 897
| 0, 975
| 0, 996
|
Для вычисления значений функции
следует использовать встроенную функцию Excel НОРМРАСП(x; 0, 168; 1, 448; ИСТИНА), а для вычисления значений функции
– НОРМРАСП(x; 0, 168; 1, 448; ЛОЖЬ).
В качестве значений функции
следует выбирать частоты
, так как все длины разрядов равны единице. Значения функции
вычисляются по формуле
.
Диаграммы с графиками этих функций должна иметь вид:

Проверим теперь правдоподобие гипотезы о виде закона распределения по критерию согласия Пирсона. Заданное статистическое распределение аппроксимировано теоретической кривой.
Между нею и статистическим распределением всегда есть определенные расхождения. Эти расхождения являются следствием либо ограниченного числа наблюдений, либо неудачным выбором вида теоретической кривой.
Для оценки согласованности теоретического и статистического распределений вводят некоторую положительную величину
, характеризующую степень расхождения теории и эксперимента.
Предполагается, что закон распределения
известен, а в результате серии опытов выяснилось, что
приняла некоторое значение u. Очевидно чем меньше величина, u тем вероятнее гипотеза о согласованности и наоборот.
Поэтому количественной оценкой правдоподобия гипотезы служит вероятность события
, а именно:
Ø если эта вероятность мала –
, то гипотезу следует отвергнуть как мало правдоподобную (в этом случае вероятность события
велика и расхождение u слишком велико);
Ø если эта вероятность –
, следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе (в этом случае вероятность события
мала и расхождение u достаточно мало);
Ø если же эта вероятность значительна –
, следует признать, что экспериментальные данные очень сильно согласуются с гипотезой и следует проверить, нет ли подтасовки данных.
Пирсон показал, что мера расхождения имеет вид
или
. Распределение
зависит от параметра r – числа степеней свободы распределения.
Число
, где s число независимых условий (связей), наложенных на частоты
. В нашем случае их три

Таким образом схема применения критерия Пирсона
имеет вид:
1) Определяется мера расхождения
.
2) Определяется число степеней свободы r = k – s
3) По r и
определяется вероятность
.
Если эта вероятность мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта вероятность относительно велика, гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.
Проверим согласованность теоретического и статистического законов распределения:
1. Находим вероятности попадания в разряды по формуле
2.

3. Составляем сравнительную таблицу чисел попаданий в разряды
и соответствующих значений
.
4. Вычисляем значение меры расхождения
.
5. Определяем число степеней свободы:
.
6. Результаты вычислений вносим в таблицу.
Образец таблицы
Число опытов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начало разряда
| -4
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
|
Конец разряда
| -3
| -2
| -1
|
|
|
|
|
|
Число попаданий
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0, 012
| 0, 053
| 0, 143
| 0, 244
| 0, 263
| 0, 180
| 0, 078
| 0, 021
|
| 6, 171
| 26, 413
| 71, 387
| 121, 939
| 131, 698
| 89, 942
| 38, 828
| 10, 588
|
| 0, 005
| 0, 076
| 0, 005
| 1, 003
| 1, 039
| 0, 042
| 1, 325
| 0, 033
|
| 3, 527
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность
| 0, 619
|
|
|
|
|
|
|
|
Гипотеза правдоподобна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечания:
1. Функция
– встроена в Excel под именем НОРМСТРАСП.
2. Для определения искомой вероятности следует воспользоваться встроенной функцией Excel ХИ2РАСП(
; r).
Расчет вероятности по таблице дает
= 0, 619. Эта вероятность малой не является; поэтому гипотезу о том, что величина
распределена по нормальному закону, можно считать правдоподобной.