ВЕРОЯТНОСТЬ

При неоднократном измерении одной и той же величины x ре­зультаты отдельных измерений х _1, х ₂... х _n будут неодинаковы из-за наличия случайных ошибок.

В курсе математической статистики доказывается, что наилучшей оценкой истинного значения А измеряемой величины х является ее среднее арифметическое значение:

, (2)

где n – число измерений; - результат отдельного измерения величины А.

Ошибка нам тоже неизвестна, поэтому имеется какая-то вероятность того, что истинное значение А лежит в некоторых пределах вблизи . Важно найти эти пределы или интервал, в пределах которого с заданной вероятностью обнаружится значение определяемой величины А. Для этого выбирают некоторую вероятность α, близкую к 1, и определяют для нее интервал от до , в котором бы находилось значение определяемой величины. Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность α - доверительной вероятностью, - доверительная граница общей погрешности измерений.

Поясним смысл терминов: доверительная граница общей погрешности и доверительная вероятность α. Для этого используем числовую ось.

Пусть среднее значение измеряемой величины – (рис.1). Отложим от справа и слева. Полученный числовой интервал от до называется доверительным интервалом.

 

Рис. 1

 

Результаты ряда измерений можно наглядно представить в виде диаграммы, которая показывает, как часто получаются те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой.

Чтобы построить гистограмму, надо весь диапазон измеренных значений от x _min до х _max разбить на равные интервалы (рис. 2) и подсчитать относительную частоту Δ n / n попаданий результатов измерения в каждый интервал (n – число всех измерений, Δ n – число измерений, попадающих в данный интервал).

Рис. 2	Рис. 3

 

Если увеличивать число измерений, ступенчатая кривая будет приближаться к гладкой кривой, которая называется кривой распределения случайной величины x _i. Величина f (x), пропорциональна доле числа отсчетов Δ n / n, попадающей в каждый интервал. Она называется плотностью вероятности.

Смысл плотности вероятности заключается в том, что произведение f (x) dx дает долю полного числа отсчетов n, приходящуюся на интервал от x до x + dx или, иначе говоря, вероятность того, что результат любого отдельного измерения х _i будет иметь значение, лежащее в указанном интервале. Эта вероятность численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции Δ S.

Вся площадь под кривой распределения определяется как произ­ведение вероятности попадания измеренного значения на всю числовую ось х и равна 1, т.е.

,

где Р (х) – функция распределения случайной величины х.

Математически закон распределения случайной величины х выражается законом Гаусса (нормальный закон распределения) и имеет вид

f (x)= (3)

где f (x) – функция плотности вероятности; е – основание натурального логарифма; х – результат очередного измерения; А – истинное значение измеряемой величины; ² – дисперсия, которая определяется по формуле

.

Поскольку дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, а это не всегда удобно, то вводится средняя квадратичная ошибка , которая представляет собой положительный квадратный корень из дисперсии:

.

Если средняя квадратичная ошибка неизвестна, то вместо нее используют величину S () - среднее квадратичное отклонение среднего результата.

. (4)

Как видно из выражения (3), функция плотности вероятности для распределения Гаусса является функцией двух параметров – А и σ. Распределение Гаусса симметрично относительно А (или ), его ширина пропорциональна σ (рис.4). Чем точнее измерения, тем плотнее вблизи среднего значения лежат результаты отдельных измерений, т.е. величина σ меньше. С уменьшением σ фигура, образуемая кривой распределения, сужается и вытягивается вверх. При этом площади под кривыми распределения будут равны между собой, т.к. вероятность попадания случайной величины на всю числовую ось равна 1. С увеличением числа измерений S () стремится к средней квадратичной ошибке

Рис. 4

Следовательно, S () является приближенным значением средней квадратичной ошибки σ, т.е. ее оценкой, которая тем ближе к σ, чем больше число проведенных измерений. Из формулы (4) следует, что с увеличением числа измерений средняя квадратичная ошибка изменяется обратно пропорционально корню квадратному из числа измерений. Однако в действительности существует предел уменьшения средней квадратичной ошибки за счет

увеличения числа измерений. Существование этого предела обусловлено наличием систематических ошибок, которые в действительности всегда существуют и не изменяются при увеличении числа измерений. Поэтому обычно производят небольшое (5-6) число измерений.

Задаваясь определенной доверительной вероятностью α, можно определить отношение доверительной границы случайной погрешности ε к среднему квадратичному отклонению S (), т.е. найти

Отношение называется коэффициентом Стьюдента, который не зависит от среднего квадратичного отклонения, а зависит лишь от вы­бора доверительной вероятности и числа измерений n. Это позволило Стьюденту составить таблицу значений коэффициентов (табл.).