Метод деления отpезка пополам
Наиболее простым методом, позволяющим найти корень нелинейного уравнения (1), является метод половинного деления. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция
Итак, алгоритм метода дихотомии: 1. Задать отрезок [a, b] и погрешность e. 2. Если f(a) и f(b) имеют одинаковые знаки, выдать сообщение о невозможности отыскания корня и остановиться.
3. В противном случае вычислить c=(a+b)/2 4. Если f(a) и f(c) имеют разные знаки, положить b=c, в противном случае a=c. 5. Если длина нового отрезка
Так как за N шагов длина отрезка [ a, b ] сокращается в 2N раз, то заданная погрешность отыскания корня e будет достигнута за итераций.
Как видно, скорость сходимости мала, но к достоинствам метода относятся простота и безусловная сходимость итерационного процесса. Если отрезок [a, b] содержит больше одного корня (но нечетное число), то всегда будет найден какой-нибудь один. Замечание. Для определения интервала, в котором лежит корень, необходим дополнительный анализ функции
|
Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, т. е. 
то это означает, что внутри данного отрезка находится нечетное число корней. Пусть для определенности корень один. Суть метода состоит в сокращении на каждой итерации вдвое длины отрезка. Находим середину отрезка [a, b] (см. рис. 1) 
Вычисляем значение функции 
и выбираем тот отрезок, на котором функция 
меняет свой знак. Новый отрезок вновь делим пополам. И этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не сравняется с наперед заданной погрешностью вычисления корня e. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) приведено на рисунке 1.
, то вычислить значение корня c=(a+b)/2 и остановиться, в противном случае перейти к шагу 3.
, основанный либо на аналитических оценках, либо на использование графического способа решения. Можно также организовать перебор значений функции в различных точках, пока не встретится условие знакопеременности функции 
