Метод простой итерации

При использовании этого метода исходное нелинейное уравнение (1) необходимо переписать в виде

(2)

Обозначим корень этого уравнения C _*. Пусть известно начальное приближение корня . Подставляя это значение в правую часть уравнения (2), получаем новое приближение

и т.д. Для (n+1)- шага получим следующее приближение

(3)

Таким образом, по формуле (3) получаем последовательность С₀, С₁, …, С_n+1, которая стремиться к корню С_* при n®¥;. Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. выполняется условие

(4)

Исследуем условие и скорость сходимости числовой последовательности {C _n} при n ®¥. Напомним определение скорости сходимости. Последовательность {C_n}, сходящаяся к пределу С_*, имеет скорость сходимости порядка a, если при n®¥ выполняется условие

(5)

Допустим, что имеет непрерывную производную, тогда погрешность на (n+1)- м итерационном шаге e_n+1=C_n+1-C_*=g(C_n)-g(C_*) можно представить в виде ряда

e_n+1 » C_n+1 – C_* = g¢ (C_*) (C_n-C_*) +¼ @ g¢ (C_*) e_n+¼

Таким образом получаем, что при выполнении условия

ç g¢ (C*) ç < 1

(6)

последовательность (3) будет сходиться к корню с линейной скоростью a=1. Условие (6) является условием сходимости метода простой итерации. Очевидно, что успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана функция .

Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения вида x =a², можно положить

x=g1(x)=a/x

(7а)

или

x=g2(x)=(x+a/x)/2.

(7б)

 

Нетрудно показать, что

½ g₁^'(C) ½ = 1 ,

½ g₂^'(C) ½ < 1.

Таким образом, первый процесс (7а) вообще не сходится, а второй (7б) сходится при любом начальном приближении С₀ > 0.

Рис. 2. Графическая интерпретация метода простых итераций для решения уравнения вида x=g(х).

 

Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3)

С₀, С₁, …, С_n = C_*

приведено на рисунке 2.