Метод простой итерации
При использовании этого метода исходное нелинейное уравнение (1) необходимо переписать в виде
Обозначим корень этого уравнения C *. Пусть известно начальное приближение корня
и т.д. Для (n+1)- шага получим следующее приближение
Таким образом, по формуле (3) получаем последовательность С0, С1, …, Сn+1, которая стремиться к корню С* при n®¥;. Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки, т. е. выполняется условие
Исследуем условие и скорость сходимости числовой последовательности {C n} при n ®¥. Напомним определение скорости сходимости. Последовательность {Cn}, сходящаяся к пределу С*, имеет скорость сходимости порядка a, если при n®¥ выполняется условие
Допустим, что en+1 » Cn+1 – C* = g¢ (C*) (Cn-C*) +¼ @ g¢ (C*) en+¼ Таким образом получаем, что при выполнении условия
последовательность (3) будет сходиться к корню с линейной скоростью a=1. Условие (6) является условием сходимости метода простой итерации. Очевидно, что успех метода зависит от того, насколько удачно выбрана функция Например, для извлечения квадратного корня, т. е. решения уравнения вида x =a2, можно положить
или
Нетрудно показать, что ½ g1'(C) ½ = 1 , ½ g2'(C) ½ < 1. Таким образом, первый процесс (7а) вообще не сходится, а второй (7б) сходится при любом начальном приближении С0 > 0.
Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) С0, С1, …, Сn = C* приведено на рисунке 2.
|
. Подставляя это значение в правую часть уравнения (2), получаем новое приближение
имеет непрерывную производную, тогда погрешность на (n+1)- м итерационном шаге en+1=Cn+1-C*=g(Cn)-g(C*) можно представить в виде ряда
