В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации.
Пусть известно некоторое приближение 
к корню 
, так что
Тогда исходную систему (2) можно записать следующим образом:
Разлагая уравнение (7) в ряд Тейлора в окрестности точки 
и ограничиваясь линейными членами по отклонению 
, получим:
|
|  ,
|
|
или в координатной форме:
|
| 
| (8)
|
Систему (8) можно переписать в виде:
|
| 
| (9)
|
Полученная система (9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно приращений
|
|  .
|
|
Значение функций F1, F2, …, Fn и их производные в (9) вычисляются при
|
|  .
|
|
Определителем системы (9) является якобиан J:
|
| 
| (10)
|
Для существования единственного решения системы уравнений (9) он должен быть отличен от нуля. Решив систему (9), например, методом Гаусса, найдём новое приближение:
|
|  .
|
|
Проверяем условие (6). Если оно не удовлетворяется, находим 
и якобиан (10) с новым приближением и опять решаем (9), таким образом, находим 2-е приближение и т.д.
Итерации прекращаются, как только выполнится условие (6).
