Метод Ньютона

В переводной литературе можно встретить название метод Ньютона-Рафсона. Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации.

Пусть известно некоторое приближение к корню , так что

Тогда исходную систему (2) можно записать следующим образом:

Разлагая уравнение (7) в ряд Тейлора в окрестности точки и ограничиваясь линейными членами по отклонению , получим:

,

или в координатной форме:

(8)

Систему (8) можно переписать в виде:

(9)

Полученная система (9) является системой линейных алгебраических уравнений относительно приращений

.

Значение функций F₁, F₂, …, F_n и их производные в (9) вычисляются при

.

Определителем системы (9) является якобиан J:

(10)

Для существования единственного решения системы уравнений (9) он должен быть отличен от нуля. Решив систему (9), например, методом Гаусса, найдём новое приближение:

.

Проверяем условие (6). Если оно не удовлетворяется, находим и якобиан (10) с новым приближением и опять решаем (9), таким образом, находим 2-е приближение и т.д.

Итерации прекращаются, как только выполнится условие (6).