Несобственные интегралы 2-го рода

 

Рассмотрим интеграл с конечными пределами

(4)

где подынтегральная функция f(x) обращается в бесконечность в некоторой точке . По определению можно представить интеграл (4) в виде следующей суммы

.

Поэтому, чтобы вычислить (4) с заданной точностью e, выбираем d из условия

Затем по каким-либо квадратурным формулам приближенно вычисляем определенные интегралы

и

с погрешностью ~e/4 каждый. Исходный интеграл будет равен сумме I₁ и I₁.

Пример. Вычислим с погрешностью e=0, 05 интеграл

(5)

Подынтегральная функция имеет разрыв при с =2. Представим (5) в виде суммы двух интегралов

	,

и выбираем d так, чтобы . Так, при интеграл I₂ удовлетворяет условию

Следовательно, при d=0.1 I₂< 0.028.

Учитывая полученную оценку интеграла I₂, вычислим интеграл

по квадратурной формуле с точностью до 0, 022.

Во многих случаях приближенное вычисление интеграла (4) облегчается с помощью метода выделения особенностей, предложенного Л.В. Канторовичем. Идея этого метода состоит в следующем. Из подынтегральной функции f(x ) выделяют некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что и функция f( x), но элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы , т.е. функция не должна иметь особенности в точке х = с. Запишем (4) в виде

(6)

Первый интеграл в (6) берется аналитически, а второй вычисляется численно по квадратным формулам.

Подбор функции g(x) производится различным образом в зависимости от конкретного вида f(x ). Рассмотрим правило построения такой функции для f(x), имеющей вид

где - непрерывная функция вместе со своими N производными. Разложим функцию F (x) в степенной ряд в окрестности точки х = с:

и удержим столько слагаемых, чтобы выполнялось условие

(7)

Тогда интеграл (6) можно записать в виде

,

(8)

причем первый интеграл в (8) берется аналитически

а второй, в силу условия (7), можно найти численно, применив одну из известных квадратных формул. Это возможно, так как подынтегральная функция не имеет особенности в точке х=с и непрерывна вместе со своими N производными.

Пример

 

Вычислим интеграл:

.

Подынтегральная функция имеет разрыв при х =0. Запишем ее в виде

.

Таким образом, т =1/2, с =0, F (x)=(1- х)^1/2.

Для того, чтобы выполнялось условие (7), достаточно в разложении функции F (x) удержать одно слагаемое, т.е.

.

Следовательно

Первый интеграл равен

,

а второй находим численно по квадратным формулам, учитывая, что подынтегральная функция в точке х =0 обращается в нуль.