Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Несобственные интегралы 2-го рода





 

Рассмотрим интеграл с конечными пределами

  (4)

где подынтегральная функция f(x) обращается в бесконечность в некоторой точке . По определению можно представить интеграл (4) в виде следующей суммы

  .  

Поэтому, чтобы вычислить (4) с заданной точностью e, выбираем d из условия

   

Затем по каким-либо квадратурным формулам приближенно вычисляем определенные интегралы

и

с погрешностью ~e/4 каждый. Исходный интеграл будет равен сумме I1 и I1.

Пример. Вычислим с погрешностью e=0, 05 интеграл

  (5)

Подынтегральная функция имеет разрыв при с =2. Представим (5) в виде суммы двух интегралов

  ,  
   

и выбираем d так, чтобы . Так, при интеграл I2 удовлетворяет условию

   

Следовательно, при d=0.1 I2< 0.028.

Учитывая полученную оценку интеграла I2, вычислим интеграл

   

по квадратурной формуле с точностью до 0, 022.

Во многих случаях приближенное вычисление интеграла (4) облегчается с помощью метода выделения особенностей, предложенного Л.В. Канторовичем. Идея этого метода состоит в следующем. Из подынтегральной функции f(x ) выделяют некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что и функция f( x), но элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы , т.е. функция не должна иметь особенности в точке х = с. Запишем (4) в виде

  (6)

Первый интеграл в (6) берется аналитически, а второй вычисляется численно по квадратным формулам.

Подбор функции g(x) производится различным образом в зависимости от конкретного вида f(x ). Рассмотрим правило построения такой функции для f(x), имеющей вид

   

где - непрерывная функция вместе со своими N производными. Разложим функцию F (x) в степенной ряд в окрестности точки х = с:

   

и удержим столько слагаемых, чтобы выполнялось условие

  (7)

Тогда интеграл (6) можно записать в виде

  , (8)

причем первый интеграл в (8) берется аналитически

   
   

а второй, в силу условия (7), можно найти численно, применив одну из известных квадратных формул. Это возможно, так как подынтегральная функция не имеет особенности в точке х=с и непрерывна вместе со своими N производными.

Пример

 

Вычислим интеграл:

  .  

Подынтегральная функция имеет разрыв при х =0. Запишем ее в виде

.

Таким образом, т =1/2, с =0, F (x)=(1- х)1/2.

Для того, чтобы выполнялось условие (7), достаточно в разложении функции F (x) удержать одно слагаемое, т.е.

.

Следовательно

   

Первый интеграл равен

,

а второй находим численно по квадратным формулам, учитывая, что подынтегральная функция в точке х =0 обращается в нуль.

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 585. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Принципы резекции желудка по типу Бильрот 1, Бильрот 2; операция Гофмейстера-Финстерера. Гастрэктомия Резекция желудка – удаление части желудка: а) дистальная – удаляют 2/3 желудка б) проксимальная – удаляют 95% желудка. Показания...

Ваготомия. Дренирующие операции Ваготомия – денервация зон желудка, секретирующих соляную кислоту, путем пересечения блуждающих нервов или их ветвей...

Билиодигестивные анастомозы Показания для наложения билиодигестивных анастомозов: 1. нарушения проходимости терминального отдела холедоха при доброкачественной патологии (стенозы и стриктуры холедоха) 2. опухоли большого дуоденального сосочка...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия