Несобственные интегралы 2-го рода
Рассмотрим интеграл с конечными пределами
где подынтегральная функция f(x) обращается в бесконечность в некоторой точке . По определению можно представить интеграл (4) в виде следующей суммы
Поэтому, чтобы вычислить (4) с заданной точностью e, выбираем d из условия Затем по каким-либо квадратурным формулам приближенно вычисляем определенные интегралы и с погрешностью ~e/4 каждый. Исходный интеграл будет равен сумме I1 и I1. Пример. Вычислим с погрешностью e=0, 05 интеграл
Подынтегральная функция имеет разрыв при с =2. Представим (5) в виде суммы двух интегралов
и выбираем d так, чтобы . Так, при интеграл I2 удовлетворяет условию Следовательно, при d=0.1 I2< 0.028. Учитывая полученную оценку интеграла I2, вычислим интеграл по квадратурной формуле с точностью до 0, 022. Во многих случаях приближенное вычисление интеграла (4) облегчается с помощью метода выделения особенностей, предложенного Л.В. Канторовичем. Идея этого метода состоит в следующем. Из подынтегральной функции f(x ) выделяют некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что и функция f( x), но элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы , т.е. функция не должна иметь особенности в точке х = с. Запишем (4) в виде
Первый интеграл в (6) берется аналитически, а второй вычисляется численно по квадратным формулам. Подбор функции g(x) производится различным образом в зависимости от конкретного вида f(x ). Рассмотрим правило построения такой функции для f(x), имеющей вид где - непрерывная функция вместе со своими N производными. Разложим функцию F (x) в степенной ряд в окрестности точки х = с: и удержим столько слагаемых, чтобы выполнялось условие
Тогда интеграл (6) можно записать в виде
причем первый интеграл в (8) берется аналитически а второй, в силу условия (7), можно найти численно, применив одну из известных квадратных формул. Это возможно, так как подынтегральная функция не имеет особенности в точке х=с и непрерывна вместе со своими N производными. Пример
Вычислим интеграл:
Подынтегральная функция имеет разрыв при х =0. Запишем ее в виде . Таким образом, т =1/2, с =0, F (x)=(1- х)1/2. Для того, чтобы выполнялось условие (7), достаточно в разложении функции F (x) удержать одно слагаемое, т.е. . Следовательно Первый интеграл равен , а второй находим численно по квадратным формулам, учитывая, что подынтегральная функция в точке х =0 обращается в нуль.
|