Постановка задачи. Уравнения, содержащие производные функции, возникают во многих областях прикладной математики

 

Уравнения, содержащие производные функции, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением.

Существует множество приемов для нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные и специальные функции. Но тем не менее очень часто в практических задачах такие методы или вообще не применимы, или приводят к таким сложным решениям, что затраты труда на их получение огромны.

Поэтому мы вынуждены обратиться к методам решения, которые могут пригодиться тогда, когда классические методы не срабатывают.

Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка или к системе уравнений любого порядка. Но известно, что обыкновенное уравнение N-го порядка можно свести к эквивалентной системе N уравнений первого порядка. Поэтому рассмотрим систему N уравнений первого порядка

,

(1)

где , .

Система уравнений (1) имеет множество решений, которое в общем случае зависит от N параметров и может быть записано в форме . Для определения значений этих параметров, т.е. для выделения нужного решения, надо наложить N дополнительных условий на функции .

Различают три основных типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений: задачи Коши, краевые задачи, задачи на собственные значения.

Задача Коши (задача с начальными условиями) имеет дополнительные условия вида:

, ,

(2)

т.е. заданы значения всех функций в одной и той же точке. Решение при этом требуется найти на некотором отрезке (или ).

Следует отметить, что если правые части уравнения (1) непрерывны и ограничены в некоторой окрестности начальной точки , то задача Коши (1)-(2) имеет решение, но, вообще говоря, не единственное. Если правые части не только непрерывны, но и удовлетворяют условию Липшица по переменным , то решение задачи Коши единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки, т.е. задача корректно поставлена.

Классы уравнений, для которых разработаны аналитические методы получения точных решений, сравнительно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике задач. Например, решение несложного уравнения

,

(3)

не выражается через элементарные функции. А уравнение

(4)

можно точно проинтегрировать и найти общее решение

.

(5)

Однако для того, чтобы составить таблицу значений , надо численно решить трансцендентное уравнение (5), что ничуть не проще численного интегрирования уравнения (4).