Решение. Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:

Если найти каждый из углов как среднее арифметическое результатов соответствующих наблюдений, то получим:

a₀ = = 89^°57¢; b₀ = = 45^°5.33¢; g₀ = = 44^°56, 67¢.

Сумма углов треугольника должна удовлетворять условию a + b + g = 180^°.

У нас же получилось a₀ + b₀ + g₀ = 179^°59¢.

Это несовпадение - результат погрешностей измерений. Необходимо изменить полученные значения a₀, b₀, и g₀ с тем, чтобы точно известное условие было выполнено.

Примем a = a₀ + D_a; b = b₀ + D_b; g = g₀ + D_g, и будем искать значения поправок D_a, D_b, D_g.

Получаем:

D_a1 = a₁ - a₀ = -2¢; D_b1 = b₁ - b₀ = -0.33¢; D_g1 = g₁ - g₀ = +0.33¢;

D_a2 = a₂ - a₀ = +2¢; D_b2 = b₂ - b₀ = +0.67¢; D_g2 = g₂ - g₀ = -1.67¢;

D_a3 = a₃ - a₀ = 0¢; D_b3 = b₃ - b₀ = -0.33¢; D_g3 = g₃ - g₀ = +1.33¢.

Уравнение связи имеет вид a₀ + D_a + b₀ + D_b + g₀ + D_g = 180^°.

Следовательно, D_a + D_b + D_g = 180^° - 179^°59¢ = 1¢.

Исключим из исходных уравнений Dg, пользуясь соотношением D_g=1¢ - D_a-

- D_b, и в каждом уравнении укажем оба неизвестных. Получаем следующую систему исходных уравнений:

A₁ × D_a + B₁ × D_b = D_a1; A₄ × D_a + B₄ × D_b = D_b1;

A₂ × D_a + B₂ × D_b = D_a2; A₅ × D_a + B₅ × D_b = D_b2;

A₃ × D_a + B₃ × D_b = D_a3; A₆ × D_a + B₆ × D_b = D_b3;

A₇ × D_a + B₇ × D_b = 1¢ - D_g1; A₈ × D_a + B₈ × D_b = 1¢ - D_g2;

A₉ × D_a + B₉ × D_b = 1¢ - D_g3,

где

A₁ = 1; B₁ = 0; A₄ = 0; B₄ = 1; A₇ = 1; B₇ = 1;

1 - Dg₁ = +0, 67¢;

A₂ = 1; B₂ = 0; A₅ = 0; B₅ = 1; A₈ = 1; B₈ = 1;

1 - Dg₂ = +2, 67¢;

A₃ = 1; B₃ = 0; A₆ = 0; B₆ = 1; A₉ = 1; B₉ = 1;

1 - Dg₃ = - 0, 33¢,

т.е.

1 × D_a + 0 × D_b = -2¢; 0 × D_a + 1 × D_b = - 0, 33¢;

1 × D_a + 0 × D_b = +2¢; 0 × D_a + 1 × D_b = +0, 67¢;

1 × D_a + 0 × D_b = 0; 0 × D_a + 1 × D_b = - 0, 33¢;

1 × D_a + 1 × D_b = +0, 67¢; 1 × D_a + 1 × D_b = +2, 67¢;

1 × D_a + 1 × D_b = - 0, 33¢.

Теперь составим систему нормальных уравнений:

A₁₁ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6; A₁₂ = 1 + 1 + 1 = 3;

A₂₁ = 1 + 1 + 1 = 3; A₂₂ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6;

C₁ = -2¢ + 2¢ +0.67¢ + 2, 67¢ - 0, 33¢ = +3¢;

C₂ = -0, 33¢ + 0, 67¢ - 0, 33¢ + 0, 67¢ + 2, 67¢ - 0, 33¢ = +3¢.

Следовательно, нормальные уравнения примут вид

6 × D_a + 3 × D_b = 3¢;

3 × D_a + 6 × D_b = 3¢.

Вычислим определители Д, и :

;

;

и находим .

Следовательно, и .

Подставляя полученные оценки в исходные уравнения, вычислим невязки:

u₁ = 2, 33¢; u₄ = 0, 67¢; u₇ = 0;

u₂ = -1, 67¢; u₅ = -0, 33¢; u₈ = -2¢;

u₃ = 0, 33¢; u₆ = 0, 67¢; u₉ = 1¢.

Вычислим оценки с.к.о. результатов совокупных измерений: Д₁₁ =6; Д₂₂ = 6 (алгебраические дополнения элементов определителя Д):

.

Ввиду равноточности исходных уравнений и равенства оценок , , , можно не делать повторных вычислений, а записать, что .

Оценим доверительные границы погрешностей измерения. Для Р_д = 0, 95 и t_p = 1, 96:

.

Окончательно можно записать результаты измерений:

a = 89°57, 3¢ ± 1, 4¢; b = 45°5, 7¢ ± 1, 4¢; g = 44°57¢ ± 1, 4¢; P_д = 0, 95.