Динамическая задача оптимизации

 

Под динамическими будем понимать задачи, в которых соотношения между параметрами и целевой функцией выражаются с помощью дифференциальных уравнений или функционалов от функций времени.

В качестве первого примера рассмотрим следующую задачу:

Задан динамический объект, описываемый дифференциальным уравнением;

Входным воздействием на объект является функция времени, содержащая неизвестный параметр :

Функция является кусочнолинейной и её вид определяется следующей таблицей значений;

Требуется найти такое значение параметра входного воздействия , при котором .

Строго говоря, приведенная задача не является задачей на нахождение минимума, но ее можно переформулировать как задачу минмизации при сохранении исходного смысла. Переформулировка заключается в том, что мы потребуем найти такое значение параметра входного воздействия, которое обеспечит минимальное значение . Выполненная переформулировка позволяет использовать при решении поставленной задачи MATLAB – функцию FMINSEARCH. Кроме функции FMINSEARCH будет использована функция ODE45, которая предназначена для численного решения дифференциального уравнения.

Решение поставленной задачи реализовано в MATLAB c помощью следующих скриптов:

Файл Main7.m

%Для определения значения параметра um, программа вызывает

%функцию поиска минимума (fminsearch)

%Предполагается, что функция fmsfun7, на которую ссылается

%fminsearch, вычисляет квадрат состояния объекта,

%соответствующего моменту времени t=4

global t t1 x x0 u

t1=2;

x0=10;

um=fminsearch(@fmsfun7, 1)

plot(t, x, t, u)

 

Файл fmsfun7.m

%Основное назначение программы – вычислить квадрат значения

%состояния объекта, соответствующего моменту времени t=4.

%Для вычисления значений состояния объекта используется

%функция

%ode45 которая реализует метод численного решения

%соответствующего дифференциального уравнения.

%Функция ode45fun8, на которую ссылается ode45, предназначена

%для вычисления значений правой части дифференциального

%уравнения объекта.

function f=fmsfun7(um)

global t t1 x x0 u umax

umax=um;

t=[];

x=[];

u=[];

[t, x]=ode45(@odefun7, [0 2*t1], [x0]);

for i=1: length(t),

if t(i)< t1

u(i)=(um/t1)*t(i);

else

u(i)=-(um/t1)*t(i)+2*um;

end

end

f=x(length(t))*x(length(t));

 

Файл odefun7.m

function f=odefun7(t, x)

global t1 umax

if t< t1

u=(umax/t1)*t;

else

u=-(umax/t1)*t+2*umax;

end

f=-0.5*x+u;