Принцип максимума Понтрягина. Максимальное быстродействие

 

Специфика задач на максимальное быстродействие начинает сказываться при записи критерия качества. Для этих задач критерием качества является следующий функционал (5.1)

(5.1)

Таким образом, требуется найти такое управление, при котором перевод объекта управления из начального состояния в конечное выполняется за минимально возможное время.

Последовательность решения рассматриваемых задач не отличается от процедуры решения других задач, решаемых на основе принципа максимума:

- составление Гамильтониана;

- определение зависимости оптимального управляющего воздействия от сопряженных переменных на основе максимизации Гамильтониана;

- составление сопряженной системы дифференциальных уравнений;

- составление общей системы дифференциальных уравнений, среди решений которой и находится искомое управляющее воздействие.

При рассмотрении объектов управления, описываемых линейными уравнениями, задачи максимального быстродействия имеют некоторую особенность. Дело в том, что соответствующая этим задачам функция Гамильтона содержит управление в степени не выше первой и, следовательно, определение максимального значения гамильтониана не может быть выполнено путем приравнивания нулю его первой производной по управлению. Поиск максимального значения гамильтониана в этом случае производится путем анализа возможных комбинаций между управлением и переменными сопряженной системы уравнений. При этом оказывается, что оптимальное управление должно быть максимально по модулю внутри интервала управления и в некоторых его точках мгновенно менять знак в соответствии со знаком некоторой функции от сопряженных переменных. В условиях такого слабого влияния сопряженной системы уравнений на управляющее воздействие возникает возможность вообще отказаться от решения сопряженной системы уравнений и рассматривать моменты смены знака управления (моменты переключения) как самостоятельные переменные.

Более подробно рассмотрим решение задачи максимального быстродействия на следующем примере.

Объект управления:

Критерий качества:

Гамильтониан:

Анализируя возможные комбинации значений и можно сделать вывод о том, что для обеспечения максимальной величины Гамильтониана в зависимости от управления необходимо выполнение следующего соотношения:

Сопряженная система уравнений:

Общая система уравнений:

(5.1)

Поскольку в системе уравнений (5.1) уравнения для сопряженных переменных не зависят от состояний объекта управления, то выражения для можно найти только из системы сопряженных уравнений не обращая внимания на уравнения для состояний объекта управления.

В данном случае:

Анализируя полученные выражения можно сделать вывод о том, что искомое управляющее воздействие имеет вид прямоугольной волны, которая меняет знак не более одного раза. Очевидно, что момент смены знака управления (момент переключения) должен выбираться из условия обеспечения заданных граничных условий для состояний объекта управления. для определения моментов переключения может быть использовано несколько способов.

Первый способ определения моментов переключения – аналитический. При использовании этого способа необходимо получить аналитическое выражение для реакции объекта управления на управляющее воздействие, имеющее вид прямоугольной волны. Используем для этой цели преобразование Лапласа. Момент переключения обозначим через .

Преобразованная по Лапласу система уравнений объекта управления, учитывающая воздействие прямоугольной волны имеет вид:

Из этой системы уравнений можно получить следующие выражения для L-изображений состояний объекта управления:

или, после выполнения обратного преобразования Лапласа, собственно аналитические выражения для переходных процессов во времени:

Последние выражения позволяют найти как значение момента переключения , так и момента времени перевода объекта управления в требуемое состояние .

 

 

 

Второй способ определения моментов переключения – поиск минимума.

Для возможности применения для решения задачи оптимального управления алгоритмов поиска минимума задачу максимального быстродействия сформулируем следующим образом:

Допустим, что управляющее воздействие является кусочнопостоянной функцией времени, которая меняет знак в момент времени , а перевод объекта управления в конечное состояние происходит в момент времени . Требуется определить такие значения параметров и при которых достигается минимальное значение невязки между фактическими и требуемыми значениями состояний объекта управления в момент . Значение невязки вычисляется как сумма квадратов разностей между фактическими и заданными значениями состояний объекта управления в момент времени .

Вычисление параметров оптимального управления методом поиска минимума может быть выполнено с помощью следующей MATLAB-программы:

Файл Main5.m

%вектор начальных приближений для момента переключения и

%момента завершения интервала управления

ti0=[1.5 1.8];

T=fminsearch('fms5', ti0)

 

Файл fms5.m

function f=fms5(T)

global t1

t=[];

x=[];

u=[];

t1=T(1);

%численное решение дифф. ур-ний объекта управления при действии

%на него прямоугольной волны управления

[t, x]=ode45('odefun5', [0 abs(T(2))], [1 0]);

%вычисление невязки

f=x(length(t), 1)^2+x(length(t), 2)^2;

%генерация массива значений управления для построения графика

for i=1: length(t)

if t(i)< t1

u(i)=-1;

else

u(i)=1;

end

end

plot(t, x(:, 1), t, u)

pause(0.5)

 

Файл odefun5.m

function f=odefun5(t, x)

global t1

if t< t1

u=-1;

else

u=1;

end

f=[x(2); u];

 

Третий способ определения моментов переключения – графическое построение линии переключения.

Этот способ отличается большой наглядностью, но применим к объектам управления второго порядка, т.к. поведение только таких объектов полностью описывается фазовым портретом. При использовании этого способа задача оптимального управления решается путем построения линии переключения, геометрического места точек фазового пространства объекта управления, из которых перевод объекта в конечное состояние возможен без переключения знака управления. В том случае, когда линия переключения найдена, процедура управления объектом заключается в следующем:

- к объекту прикладывается управление некоторого знака и под действием этого управления объект движется до тех пор, пока его изображающая точка не окажется на линии переключения

- при попадании изображающей точки на линию переключения выполняется смена знака управляющего воздействия и его изображающая точка начинает двигаться по линии переключения к целевому состоянию. Таким образом, гарантия попадания изображающей точки в целевое состояние обеспечивается по определению линии переключения.

Очевидным способом построения линии переключения является сканирование всей фазовой плоскости и запоминание тех ее точек, из которых целевое состояние достигается путем применения постоянного по величине и знаку управления.

Однако существует способ построения всей линии переключения за один прием. Дело в том, что фазовая траектория движения объекта в обратном времени из целевой точки под действием постоянного по величине и знаку управлении обладает всеми свойствами линии переключения. Следовательно, линия переключения может быть построена путем решения дифференциальных уравнений объекта управления записанных в обратном времени. Математически переход к обратному времени выполняется заменой на в уравнениях объекта. Следует учитывать. что линия переключения имеет две ветви: одна из них соответствует положительному значению управляющего воздействия, а другая – отрицательному.

Программное обеспечение решения задачи максимального быстродействия состоит из двух частей:

- скрипт, выполняющий построение фазовой траектории объекта путем численного решения его уравнений записанных в обратном времени из начальной точки, соответствующей целевому состоянию (построение линии переключения);

- скрипт, выполняющий построение фазовой траектории объекта путем численного решения его уравнений записанных в обычном времени из начальной точки, соответствующей начальному состоянию (знак управляющего воздействия противоположен знаку, использованному при построении линии переключения).

Длительность фазовой траектории, порождаемой вторым скриптом должна быть достаточной для ее пересечения с линией переключения. Момент пересечения и является искомым моментом переключения.