Обоснования возможности замены нелинейной регрессии линейной функцией

1) если величина не превышает 0, 1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным;

2) если , то вычисляют ошибку разности между и

и t -критерий Стъюдента

.

Если , то различие между и существенно, и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна. Практически, если величина , то различие между и не существенно, и имеет смысл перейти к линейной регрессии.

Практические рекомендации по выполнению расчетов

с помощью табличного редактора MS Excel

Имеются данные о годовой цене программы «Мастер делового администрирования» и числе слушателей в образовательном учреждении.

Цена программы, тыс. долл., y			4, 9		3, 8	3, 5	3, 8	3, 7	3, 6	3, 5	3, 4
Число слушателей, чел., x

Необходимо:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

2. Рассчитать параметры параболической, степенной, показательной, полулогарифмической, обратной и гиперболической регрессий.

3. Постройте на одной диаграмме с полем корреляции линию регрессии.

4. В каждом случае оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

5. Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество модели.

6. Оценить с помощью F -критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. Выберите лучшее уравнение регрессии.

8. Дайте по выбранному уравнению оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего коэффициента эластичности.

9. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его максимального в исходных данных значения. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

Полином 2-го порядка (парабола): .

Параметры a, b и c находят, решая методом определителей систему уравнений:

Необходима вспомогательная таблица расчетов:

	y	x
	4, 9					58, 8	705, 6
	3, 8
	3, 5
	3, 8
	3, 7
	3, 6
	3, 5
	3, 4
Сумма	53, 2					1285, 8	43910, 6

Получаем систему уравнений

Ø Составим главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при переменных a, b и c,

.

Вычислить этот определитель можно в Excel, воспользовавшись математической функцией МОПРЕД.

Ø Далее составляем и вычисляем три вспомогательных определителя системы, ;

, ,

.

Ø Находим параметры a, b и c соответственно по формулам , , .

Таким образом, уравнение параболической регрессии признаков x и y имеет вид: .

Показателем тесноты связи выступает индекс корреляции , коэффициент детерминации . Для расчета этих характеристик, а также для расчета средней ошибки аппроксимации необходимо составить в Excel расчетную таблицу следующего вида:

 

	y	x
			6, 455490941	2, 38550823	15, 27006	19, 30636324
			5, 610316807	0, 3724866	0, 823905	12, 20633613
	4, 9		5, 304252704	0, 16342025	0, 652367	8, 250055184
			4, 879448212	0, 77342916	0, 008521	21, 98620529
	3, 8		4, 262885156	0, 21426267	0, 085444	12, 18118831
	3, 5		4, 048265484	0, 30059504	0, 350828	15, 66472813
	3, 8		3, 760627639	0, 00155018	0, 085444	1, 036114765
	3, 7		3, 372675661	0, 10714122	0, 153905	8, 846603755
	3, 6		3, 099029222	0, 25097172	0, 242367	13, 91585494
	3, 5		3, 058016599	0, 19534933	0, 350828	12, 62809717
	3, 4		2, 939688322	0, 21188684	0, 47929	13, 53857875
			2, 96392314	0, 00130154	1, 193136	1, 202562007
			3, 445380113	0, 19836345	1, 193136	14, 84600377
Среднее	4, 092308					11, 96989934
Сумма				5, 17626623	20, 88923

Тогда , , .

Расчетное значение критерия Фишера равно , где n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x. Для параболы , в данном примере .

 

Выводы:

Ø , что говорит о тесной прямой связи между признаками x и y.

Ø , т.е. 75, 22% вариации признака y объясняется за счет признака x данным уравнением регрессии, что является весьма удовлетворительным.

Ø Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Ø Расчетное значение критерия Фишера равно 15, 18, оно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4, 1). Найденное уравнение параболической регрессии статистически надежно.

Графическая иллюстрация приведена ниже

 

Степенная функция: .

Пусть , , . Тогда уравнение примет вид

.

Параметры модели определяются по следующим формулам:

, .

Составим вспомогательную таблицу.

	y	x
			2, 079441542	1, 60943791	2, 59029	3, 3467321
			1, 609437912	2, 30258509	5, 301898	3, 7058677
	4, 9		1, 589235205	2, 48490665	6, 174761	3, 9491011
			1, 386294361	2, 7080502	7, 333536	3, 7541547
	3, 8		1, 335001067	2, 99573227	8, 974412	3, 9993058
	3, 5		1, 252762968	3, 09104245	9, 554543	3, 8723435
	3, 8		1, 335001067	3, 21887582	10, 36116	4, 2972027
	3, 7		1, 30833282	3, 40119738	11, 56814	4, 4498982
	3, 6		1, 280933845	3, 55534806	12, 6405	4, 5541657
	3, 5		1, 252762968	3, 58351894	12, 84161	4, 4892998
	3, 4		1, 223775432	3, 68887945	13, 60783	4, 51436
			1, 098612289	3, 91202301	15, 30392	4, 2977965
			1, 098612289	4, 09434456	16, 76366	4, 4980973
Среднее	4, 092308	27, 69230769	1, 373092597	3, 12661091	10, 23202	4, 1329481
	b	-0, 35101802
	A	2, 470589356
	a	11, 82941654

 

Степенная регрессия имеет вид: . Для оценки тесноты связи и надежности моделирования составим расчетную таблицу

	y	x
			6, 72376088	1, 62878629	15, 27006	15, 952989
			5, 271634701	0, 07378541	0, 823905	5, 432694022
	4, 9		4, 944828847	0, 00200963	0, 652367	0, 914874437
			4, 572293534	0, 32751989	0, 008521	14, 30733836
	3, 8		4, 13312325	0, 1109711	0, 085444	8, 766401326
	3, 5		3, 997134646	0, 24714286	0, 350828	14, 20384702
	3, 8		3, 821740509	0, 00047265	0, 085444	0, 572118651
	3, 7		3, 584818332	0, 01326682	0, 153905	3, 11301806
	3, 6		3, 395999538	0, 04161619	0, 242367	5, 666679501
	3, 5		3, 362583734	0, 01888323	0, 350828	3, 926179017
	3, 4		3, 240495363	0, 02544173	0, 47929	4, 691312861
			2, 996361745	1, 3237E-05	1, 193136	0, 121275157
			2, 810607494	0, 03586952	1, 193136	6, 31308354
Среднее	4, 092308					6, 460139305
Сумма				2, 52577855	20, 88923

 

Пользуясь формулами для расчета, получим

Примечание. При вычислении статистики Фишера для степенной функции параметр m =1.

Выводы:

Ø , что говорит о тесной прямой связи между признаками x и y.

Ø , т.е. 87, 91% вариации признака y объясняется за счет признака x данным уравнением регрессии, что является весьма удовлетворительным.

Ø Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Ø Расчетное значение критерия Фишера равно 79, 97, оно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4, 8). Найденное уравнение степенной регрессии статистически надежно.

Графическая иллюстрация приведена ниже

 

Показательная функция: .

Пусть , , . Тогда уравнение регрессии примет вид . Параметры модели определяются по следующим формулам:

, .

Составим вспомогательную таблицу.

	y	x
			2, 079441542		10, 39721
			1, 609437912		16, 09438
	4, 9		1, 589235205		19, 07082
			1, 386294361		20, 79442
	3, 8		1, 335001067		26, 70002
	3, 5		1, 252762968		27, 56079
	3, 8		1, 335001067		33, 37503
	3, 7		1, 30833282		39, 24998
	3, 6		1, 280933845		44, 83268
	3, 5		1, 252762968		45, 09947
	3, 4		1, 223775432		48, 95102
			1, 098612289		54, 93061
			1, 098612289		65, 91674
Среднее	4, 092308	27, 69230769	1, 373092597	1009, 53846	34, 84409
	B	-0, 01310402
	A	1, 735973264
	b	0, 98698146
	a	5, 674447852

 

Показательная регрессия имеет вид: .

Для оценки тесноты связи и надежности моделирования составим расчетную таблицу

	y	x
			5, 314575517	7, 21150465	15, 27006	33, 56780603
			5, 271634701	0, 07378541	0, 823905	5, 432694022
	4, 9		4, 944828847	0, 00200963	0, 652367	0, 914874437
			4, 572293534	0, 32751989	0, 008521	14, 30733836
	3, 8		4, 13312325	0, 1109711	0, 085444	8, 766401326
	3, 5		3, 997134646	0, 24714286	0, 350828	14, 20384702
	3, 8		3, 821740509	0, 00047265	0, 085444	0, 572118651
	3, 7		3, 584818332	0, 01326682	0, 153905	3, 11301806
	3, 6		3, 395999538	0, 04161619	0, 242367	5, 666679501
	3, 5		3, 362583734	0, 01888323	0, 350828	3, 926179017
	3, 4		3, 240495363	0, 02544173	0, 47929	4, 691312861
			2, 996361745	1, 3237E-05	1, 193136	0, 121275157
			2, 810607494	0, 03586952	1, 193136	6, 31308354
Среднее	4, 092308					7, 81512523
Сумма				8, 10849691	20, 88923

Пользуясь формулами для расчета, получим

Выводы:

Ø , что говорит о тесной прямой связи между признаками x и y.

Ø , т.е. 61, 18% вариации признака y объясняется за счет признака x данным уравнением регрессии, что является весьма удовлетворительным.

Ø Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Ø Расчетное значение критерия Фишера равно 17, 34, оно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4, 8). Найденное уравнение показательной регрессии статистически надежно.

Графическая иллюстрация приведена ниже.

Полулогарифмическая функция: .

Оценка параметров может быть по решению системы уравнений:

.

	y	x
			1, 609437912	2, 59029039	12, 8755
			2, 302585093	5, 30189811	11, 51293
	4, 9		2, 48490665	6, 17476106	12, 17604
			2, 708050201	7, 33353589	10, 8322
	3, 8		2, 995732274	8, 97441185	11, 38378
	3, 5		3, 091042453	9, 55454345	10, 81865
	3, 8		3, 218875825	10, 3611616	12, 23173
	3, 7		3, 401197382	11, 5681436	12, 58443
	3, 6		3, 555348061	12, 6404998	12, 79925
	3, 5		3, 583518938	12, 841608	12, 54232
	3, 4		3, 688879454	13, 6078316	12, 54219
			3, 912023005	15, 303924	11, 73607
			4, 094344562	16, 7636574	12, 28303
Сумма	53, 2		40, 64594181	133, 016267	156, 3181

Получаем систему уравнений

.

Решить эту систему можно любым доступным способом, например, методом подстановки. При использовании Excel это лучше сделать методом определителей.

Для		40, 64594181		Для	53, 2	40, 64594181
дельта	40, 64594	133, 0162668		дельта a	156, 318124	133, 0162668
Δ	77, 11888			Δ a	722, 768022
Для		53, 2
дельта b	40, 64594	156, 318124		a	9, 37212778
				b	-1, 6886719
	Δ b	-130, 228493

Уравнение полулогарифмической регрессии имеет вид: .

Для оценки тесноты связи и надежности моделирования составим расчетную таблицу

	y	x
			6, 654315149	1, 81086772	15, 2700592	16, 82106064
			5, 483816959	0, 23407885	0, 82390533	9, 676339186
	4, 9		5, 175935664	0, 07614049	0, 65236686	5, 631340072
			4, 799119411	0, 63859183	0, 00852071	19, 97798528
	3, 8		4, 31331877	0, 26349616	0, 08544379	13, 50838868
	3, 5		4, 152371144	0, 42558811	0, 3508284	18, 63917555
	3, 8		3, 936502518	0, 01863294	0, 08544379	3, 59217152
	3, 7		3, 628621222	0, 00509493	0, 15390533	1, 929156163
	3, 6		3, 368311295	0, 05367966	0, 24236686	6, 435797348
	3, 5		3, 320739926	0, 03213417	0, 3508284	5, 121716394
	3, 4		3, 142820581	0, 06614125	0, 47928994	7, 564100572
			2, 766004328	0, 05475397	1, 19313609	7, 799855721
			2, 458123033	0, 29363065	1, 19313609	18, 06256558
Среднее	4, 092308					10, 36612713
Сумма				3, 97283074	20, 8892308

 

Пользуясь формулами для расчета, получим

n		Ø , что говорит о тесной прямой связи между признаками x и y. Ø , т.е. 80, 98% вариации признака y объясняется за счет признака x данным уравнением регрессии, что является весьма удовлетворительным. Ø Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели. Ø Расчетное значение критерия Фишера равно 46, 84, оно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4, 8). Найденное уравнение полулогарифмической регрессии статистически надежно.
R	0, 899896887
R2	0, 809814407
A	10, 36612713
F	46, 83824022
Fтабл	4, 844335669

 

Обратная модель вида: .

Оценка параметров может быть найдена по решению системы:

.

	y	x
			0, 125	0, 625
			0, 2
	4, 9		0, 20408163	2, 44897959
			0, 25	3, 75
	3, 8		0, 26315789	5, 26315789
	3, 5		0, 28571429	6, 28571429
	3, 8		0, 26315789	6, 57894737
	3, 7		0, 27027027	8, 10810811
	3, 6		0, 27777778	9, 72222222
	3, 5		0, 28571429	10, 2857143
	3, 4		0, 29411765	11, 7647059
			0, 33333333	16, 6666667
			0, 33333333
Сумма	53, 2		3, 38565836	103, 499216

Получаем систему уравнений:

.

Решение этой системы и остальные выводы по данной регрессии представлены далее.

Для				Для	3, 38565836
дельта				дельта a	103, 499216
Δ				Δ a	7173, 66239
Для		3, 385658355
дельта b		103, 4992163		a	0, 17491618
				b	0, 00308819
	Δ b	126, 6528041

Уравнение обратной регрессии имеет вид: .

	y	x
			5, 253283798	7, 54444989	15, 2700592	34, 33395252
			4, 859132073	0, 01984377	0, 82390533	2, 817358541
	4, 9		4, 717549745	0, 0332881	0, 65236686	3, 723474587
			4, 519998446	0, 27039838	0, 00852071	12, 99996116
	3, 8		4, 225114815	0, 18072261	0, 08544379	11, 18723198
	3, 5		4, 11766073	0, 38150478	0, 3508284	17, 64744942
	3, 8		3, 966351012	0, 02767266	0, 08544379	4, 37765821
	3, 7		3, 737453631	0, 00140277	0, 15390533	1, 012260294
	3, 6		3, 533534037	0, 00441772	0, 24236686	1, 846276747
	3, 5		3, 495391553	2, 1238E-05	0, 3508284	0, 13166991
	3, 4		3, 350715313	0, 00242898	0, 47928994	1, 449549627
			3, 036508307	0, 00133286	1, 19313609	1, 216943553
			2, 7761775	0, 05009651	1, 19313609	7, 460750006
Среднее	4, 092308					7, 708041274
Сумма				8, 51758027	20, 8892308

 

n		Ø , что говорит о тесной прямой связи между признаками x и y. Ø , т.е.59, 23% вариации признака y объясняется за счет признака x данным уравнением регрессии, что является весьма удовлетворительным. Ø Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели. Ø Расчетное значение критерия Фишера равно 15, 98, оно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4, 8). Найденное уравнение обратной регрессии статистически надежно.
R	0, 769577917
R2	0, 592250171
A	7, 708041274
F	15, 97732585
Fтабл	4, 844335669

 

 

Гипербола: .

Параметры a и b находят, решая систему уравнений

.

	y	x	1/ x		y/ x
			0, 2	0, 04	1, 6
			0, 1	0, 01	0, 5
	4, 9		0, 083333333	0, 00694444	0, 40833333
			0, 066666667	0, 00444444	0, 26666667
	3, 8		0, 05	0, 0025	0, 19
	3, 5		0, 045454545	0, 00206612	0, 15909091
	3, 8		0, 04	0, 0016	0, 152
	3, 7		0, 033333333	0, 00111111	0, 12333333
	3, 6		0, 028571429	0, 00081633	0, 10285714
	3, 5		0, 027777778	0, 0007716	0, 09722222
	3, 4		0, 025	0, 000625	0, 085
			0, 02	0, 0004	0, 06
			0, 016666667	0, 00027778	0, 05
Сумма	53, 2		0, 736803752	0, 07155682	3, 79450361

Система имеет вид:

.

 

Для		0, 736803752		Для	53, 2	0, 736803752
дельта	0, 736804	0, 071556825		дельта a	3, 79450361	0, 071556825
Δ	0, 387359			Δ a	1, 01101859
Для		53, 2
дельта b	0, 736804	3, 794503608		a	2, 61003025
				b	26, 1529704
	Δ b	10, 1305873

Уравнение гиперболической регрессии имеет вид:

.

	y	x
			5, 253283798	7, 54444989	15, 2700592	34, 33395252
			4, 859132073	0, 01984377	0, 82390533	2, 817358541
	4, 9		4, 717549745	0, 0332881	0, 65236686	3, 723474587
			4, 519998446	0, 27039838	0, 00852071	12, 99996116
	3, 8		4, 225114815	0, 18072261	0, 08544379	11, 18723198
	3, 5		4, 11766073	0, 38150478	0, 3508284	17, 64744942
	3, 8		3, 966351012	0, 02767266	0, 08544379	4, 37765821
	3, 7		3, 737453631	0, 00140277	0, 15390533	1, 012260294
	3, 6		3, 533534037	0, 00441772	0, 24236686	1, 846276747
	3, 5		3, 495391553	2, 1238E-05	0, 3508284	0, 13166991
	3, 4		3, 350715313	0, 00242898	0, 47928994	1, 449549627
			3, 036508307	0, 00133286	1, 19313609	1, 216943553
			2, 7761775	0, 05009651	1, 19313609	7, 460750006
Среднее	4, 092308					7, 708041274
Сумма				8, 51758027	20, 8892308

 

n		Ø , что говорит об очень тесной прямой связи между признаками x и y. Ø , т.е.97, 56% вариации признака y объясняется за счет признака x данным уравнением регрессии, что является весьма удовлетворительным. Ø Средняя ошибка аппроксимации не превышает установленного предела в 15%, что свидетельствует о хорошем качестве модели. Ø Расчетное значение критерия Фишера равно 440, 57 оно существенно превышает соответствующее табличное (критическое) значение (4, 8). Найденное уравнение обратной регрессии статистически надежно.
R	0, 987745189
R2	0, 975640558
A	4, 638171373
F	440, 5702713
Fтабл	4, 844335669

 

Сравним результата регрессионного анализа по разным видам парных регрессий:

Регрессия	Коэффициент детерминации	Средняя ошибка аппроксимации
Парабола
Степенная
Показательная
Полулогарифмическая
Обратная
Гипербола
Линейная

Все уравнения достаточно хорошо описывают исходные данные. Однако предпочтение можно отдать гиперболе , для которой значение коэффициента детерминации наибольшее, а ошибка аппроксимации наименьшая.

Дадим по выбранному уравнению количественную оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего коэффициента эластичности. Для