Балансовые модели
Модель межотраслевого баланса: В основе этих моделей лежит балансовый метод, т.е. метод взаимного сопоставления имеющихся ресурсов, например, трудовых, и потребностей в них. Как отмечено выше, балансовые модели строятся в виде числовых матриц. Такую структуру имеют межотраслевой и межрайонный баланс производства и распределения продукции в народном хозяйстве, модели развития отраслей, межотраслевые балансы производства и распределения продукции отдельных регионов, модели промфинпланов предприятий и фирм и т.д. Несмотря на специфику этих моделей, их объединяет не только общий формальный (матричный) принцип построения и единства системы расчетов, но и аналогичность ряда экономических характеристик. Это позволяет рассматривать структуру, содержание и основные зависимости матричных моделей на примере одной из них, а именно, на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве. Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) производства и распределения совокупного общественного продукта в стоимостном выражении приведена в таблице.
Первый квадрант МОБ – это шахматная таблица межотраслевых связей. Представляет собой квадратную матрицу порядка n, сумма всех элементов которой равняется годовому фонду возмещения затрат средств производства в материальной сфере. Во втором квадранте представленная конечная продукция всех отраслей материального производства, направленная на потребление и накопление (характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода). Третий квадрант МОБ тоже характеризует национальный доход, но со стороны его стоимостного состава как сумму чистой продукции и амортизации. Сумма амортизации (Сj) и оплаты труда (Vj+mj) некоторой отрасли будем называть чистой продукцией этой отрасли и обозначить Zj. Четвертый квадрант баланса отражает конечное распределение и использование национального дохода. Общий итог этого квадранта, как второго и третьего должен быть равен созданному за год национальному доходу. Рассмотрим два важнейших соотношения, отражающих сущность МОБ и являющихся основой его экономико-математической модели. Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам можно сделать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продукции этой отрасли:
Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли.
Просуммируем по всем отраслям уравнение (5.1), в результате чего получим Аналогичное суммирование уравнений (5.2) дает: Отсюда следует соблюдение соотношения
Величины
Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат С учетом формулы (5.4) систему баланса (5.2) можно переписать в виде
или в матричной форме
Система уравнений (5.5) или в матричной форме (5.6) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева). С помощью этой модели можно выполнить 3 варианта расчетов: А) Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (
В) Задав величины конечной продукции всех отраслей (
С) Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (10.6), а системой линейных уравнений (5.5). Пусть Или Коэффициенты Определение 2. Коэффициенты полных материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-ой отрасли. Анализ модели МБ приводит к следующим выводам: а) б) в) Определение 3. Матрица Для того, чтобы матрица 1) матрица 2) матричный ряд 3) наибольшее по модулю собственное значение строго меньше единицы 4) все главные миноры матрицы Замечание. Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы является следующий признак Пример 1. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции:
Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой продукции, заполнить схему межотраслевого материального баланса. 1. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц: а) находим матрицу (Е – А)
б) вычисляем определитель этой матрицы:
в) транспортируем матрицу (Е – А):
г) находим алгебраические дополнения для элементов матрицы (Е – А)’
Таким образом, присоединенная к матрице (Е – А) матрица имеет вид:
д) используя формулу (5.9), находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х), используя формулу (5.8):
3. Для определения элементов первого квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы: Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) находятся с учетом формулы (5.1) как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта. Четвертый квадрант в нашем примере состоит из одного показателя и служит, в частности, для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта. Результаты расчета представлены в табл. 1.
Таблица 1
|