Типовые задачи с решениями

№ 1. Определить выпуск и цену, максимизирующие прибыль и выручку монополиста, а также размер максимальной прибыли, если функция общих затрат имеет вид: TC = 200 + 60Q + 1, 5Q². Функция спроса на продукцию монополии: Q = 240 – 2P.

Почему Q не совпадает при нахождении максимум прибыли и максимум выручки фирмы?

 

Решение:

Условие максимизации прибыли монополии MC = MR.

MC = TC’(Q) = 60 + 3 Q;

MR = TR’(Q) = (P∙ Q)' = (( 120–0, 5 Q)Q)’ = (120 Q – 0, 5Q²)’ = 120– Q. Тогда: 60 + 3 Q = 120– Q, следовательно максимизирующий прибыль монополии объем продаж Q = 15ед .; P = 120 – 0, 5∙ 15 = 112, 5 ден. ед.

Условие максимизации выручки монополии: MR = 0. Тогда: 120 – Q = 0; Q = 120 ед. P = 60 ден.ед.

π _max = TR – TC = 15∙ 112, 5 – (200 + 60∙ 15 + 1, 5∙ 15²) = 250 ден.ед.

Несовпадение объема выпуска при максимизации прибыли и выручки легко объяснить геометрически: максимизация предполагает равенство тангенсов углов наклона касательных к соответствующим функциям. При максимизации прибыли – это касательные к функциям выручки и затрат, а при максимизации выручки – угол наклона касательной к функции выручки равен нулю.

 

 

№ 2. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, продавая 10 ед. продукции по цене 10 ден. ед. Функция общих затрат монополии TC = 4 Q + 0, 2 Q ². На сколько сократиться объем продаж, если с каждой проданной единицы продукции взимать налог в размере 4 ден. ед.?

 

Решение:

Используем формулу и так как при максимизации прибыли MC = MR, то MC = 4 + 0, 4 Q = 4 + 0, 4∙ 10 = 8 = MR. Тогда . Если линейный спрос описать как Q_D = a - bP, то используя формулу для расчета коэффициента эластичности спроса, получим: . Тогда получаем: 10 = а - 5∙ 10, следовательно а = 60. Функция спроса имеет вид: Q_D = 60 - 5 P .

Предельные затраты монополии после включения в них налога примут вид: MC = 8 + 0, 4 Q. Тогда оптимум монополии в условиях налога будет иметь вид:

№3. Монополия, максимизирующая прибыль, производит продукцию при неизменных средних затратах и продает ее на рынке с линейным спросом. На сколько единиц изменится выпуск монополии, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.?

 

Решение:

 

1) Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

2) Увеличение объема спроса при каждой цене на 30 ед. означает, что график функции спроса сдвигается по оси Q на 30 ед. без изменения наклона. Следовательно, график предельного дохода MR сдвинется по оси Q на 15 ед. также без изменения наклона.

3) Точка Курно (MR = MC) сдвинется по графику MC на 15 ед., а следовательно и её координата по оси Q, определяющая выпуск монополии, тоже сдвинется на 15 ед.

Ответ: DQ=15.

 

№4. Рыночный спрос, отображаемый функцией Q^D = 180 – 3 P, удовлетворяет монополия, которая производит продукцию с неизменными средними затратами. Стремясь к достижению максимума прибыли, монополия установила цену Р = 40.

а) Определите объем продаж и цену, если рыночный спрос возрастет так, что при каждой цене объем спроса увеличится на 30 ед.

б) Определите прибыль монополии при указанном изменении спроса.

 

Решение:

 

1) Неизменные средние затраты означают, что функция общих затрат у монополии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

2) При функции спроса Q₁^D = 180 – 3 P и цене Р₁ = 40 объем продаж монополии составляет Q_м1 = 180 – 3*40 = 60 ед. Функция предельного дохода при этом выглядит как MR₁ = 60 – 2Q/3. Предельный доход MR₁ = 60 – 2*60/3 = 20. Следовательно, предельные затраты монополии MC = 20 = Const.

3) Увеличение спроса на 30 ед. при каждой цене означает изменение функции спроса до вида Q₂^D = 210 – 3 P. Функция предельного дохода примет при этом вид MR₂ = 70 – 2Q/3. Из условия максимизации прибыли MR = MC следует 70 – 2Q/3 = 20, отсюда выпуск монополии составит Q_м2 = 75 ед. Цена при этом в соответствии с новой функцией спроса будет P₂ = 70 – 75/3 = 45.

4) Для нахождения прибыли необходимо выразить функцию общих затрат монополии. Поскольку AC = MC = 20, то общие затраты монополии выглядят TC = AC*Q = 20Q. Следовательно, прибыль монополии будет П = 45*75 – 20*75 = 1875 д.е.

Ответ: а) Q=75, P=45; б) П=1875.

 

 

№6. Максимизирующая прибыль монополия с функцией затрат TC = 40 + 10 Q + 0, 25 Q ² может продавать свою продукцию на отечественном рынке, спрос на котором отображается функцией q ₁ ^D = 60 – P ₁, и на мировом рынке по цене P ₂ = 30.

Определите объем продаж на обоих рынках, цену на отечественном рынке и прибыль монополии.

 

Решение:

 

Объемы продаж монополии на обоих рынках определяются из условия максимизации прибыли при сегментации рынка: MR₁(q₁) = MR₂(q₂) = MC(Q), где Q = q₁ + q₂ . Предельный доход с отечественного рынка MR₁ = 60 – 2 q₁ . Цена на мировом рынке является для монополии внешне заданной, поэтому MR₂ = P₂ = 30. Предельные затраты монополии выглядят MC = 10 + 0, 5Q. Отсюда находим q₁ = 15 и Q = 40, следовательно объем продаж на мировом рынке q₂ = 25. Цена на отечественном рынке будет P₁ = 60 – 15 = 45. Прибыль монополии находится как разница между суммой выручки с обоих рынков и общими затратами монополии: П = (45*15 + 30*25) – (40 + 10*40 + 0, 25*40²) = 585 д.е.

Ответ: q₁=15, q₂=25, P₁=45, П=585.

 

№7. Спрос на товар отображается линейной функцией, а технология его производства – функцией Q= АL ^a K ^1–a. На рынке этого товара совершенная конкуренция сменилась монополией, максимизирующей прибыль. В результате цена товара повысилась на 2 ден. ед., а объем продаж сократился на 100 ед. Насколько ден. ед. сократились излишки потребителей?

 

Решение:

 

1) Для данной производственной функции коэффициенты эластичности выпуска по труду и по капиталу e_L = a, e_K = 1- a. Сумма этих коэффициентов e_L + e_K = 1 означает, что данной технологии присуща постоянная отдача от масштаба, а следовательно – долгосрочные средние затраты постоянны.

2) Постоянные средние затраты означают, что функция общих затрат при данной технологии линейна, а значит предельные затраты – тоже постоянны и равны средним: MC = AC = Const. Следовательно, функция предельных затрат – параллельна оси Q.

3) Функция отраслевого предложения при совершенной конкуренции совпадает с функцией предельных затрат при монополизации отрасли.

4) Изменение излишков покупателей определяется графически как площадь трапеции, представляющей собой разность между излишками покупателей при совершенной конкуренции и при монополии.

Ответ: DR_пок=300

 

№8. При линейном рыночном спросе монополия достигает максимума прибыли с предельными затратами MC = 20 и эластичностью спроса по цене e^D = -3. Для полного удовлетворения потребностей в товаре, производимом монополией, требуется 60 ед. Определите объем продаж, цену на рынке монополии и излишки покупателей продукции монополии.

 

Решение:

 

1) Общий вид линейной функции спроса Q^D = a – bP. Параметр “a” определяет максимальный объем спроса для данной функции (при P = 0). Следовательно, по условию, a = 60. Тогда из соотношения a = Q*(1 - e^D) можно найти объем продаж на рынке: Q = 60/(1 + 3) = 15.

2) Для монополии предельный доход и цена связаны соотношением MR = P(1 + 1/ e^D), кроме того при максимизации прибыли MR = MC. Следовательно, цена на рынке будет P = 20/(1 – 1/3) = 30.

3) Зная объем продаж, цену и эластичность, можно найти параметр “b” в функции спроса: b = - e^D*Q/P = 3*15/30 = 1, 5. Следовательно, функция спроса имеет вид Q^D = 60 – 1, 5P. Излишки покупателя находятся графически.

Ответ: Q=15, P=30, R_пок=75

 

№ 9*. В отрасли работают 10 фирм с одинаковыми функциями затрат TC_i = 4 + 2 q_i + 0, 5 . Отраслевой спрос задан функцией: Q^D = 52 – 2 P. Собственник одной из фирм предложил своим конкурентам передать ему все предприятия, обещая за это выплачивать им регулярный доход, в 2 раза превышающий получаемую ими прибыль.

1. Насколько возрастет прибыль инициатора монополизации отрасли, если его предложение будет принято?

2. Насколько сократятся излишки потребителей?

Решение

1. Определим функцию предложения отдельной фирмы 2 + q_i = P Þ = –2 + P.

Тогда совместное предложение 10 фирм:

.

В отрасли установится равновесие при:

– 20 +10 Р = 52 – 2 Р Þ P =6; Q = 40; q_i =4; p = 6× 4 – 4 – 2× 4 – 0, 5× 16 = 4.

Когда все фирмы будут принадлежать одному продавцу, цена определится из равенства MR = MC. При выведении функции затрат монополии нужно учитывать, что Q = 10 q_i., тогда q_i. = 0, 1 Q. Поэтому ТС_мон = 10× ТС_i = 40 + 2 q _i + 5 q_i ² = . Тогда МС_мон = 2 + 0, 1 Q. Исходя из условия оптимума монополии МС = МR получаем: 26 – Q = 2+0, 1 Q, тогда Q = 21, 81; P = 26 – 0, 5∙ 21, 81 = 15, 1; TR = 329, 33; ТС = 40 +2∙ 21, 81+ 0, 05∙ 475, 67 = 107, 4.

Прибыль монополиста:

p = TR – TC = 329, 33 – 107, 4 = 221, 9

После выплат каждому из бывших конкурентов по 8 ден. ед. у монополиста останется (221, 9 – 72) = 149, 9, то есть его прибыль возрастет в 149, 9/4 = 37, 5 раза.

2. Излишки потребителей в результате монополизации отрасли сократились с 400 до 119 ден. ед.

 

№ 10. При линейной функции спроса монополия получает максимум прибыли, реализуя 10 ед. продукции по цене 24 ден. ед. Функция общих затрат монополии

TC = 100 + 4 Q + 0, 25 Q ².

1. Насколько возрастет цена, если с каждой единицы товара будет взиматься налог в размере 7 ден. ед.?

2. Насколько изменится прибыль монополии до уплаты акциза?

3. Какова сумма получаемого налога?

4. Насколько сократятся излишки потребителей?

5. Насколько возрастет объем продаж, если при наличии указанного налога потребители при каждой цене будут спрашивать на 7 ед. товара больше?

 

Решение

1. Определим значение e^D и выведем функцию отраслевого спроса:

 

 

Поскольку в исходных условиях MC = 4 + 0, 5 Q, то после введения акциза MC = 11 + 0, 5 Q; максимум прибыли монополия получает при 11 + 0, 5 Q = 39 – 3 Q Þ

Q * = 8; P * = 27, то есть цена возросла на 3 ден. ед.

 

2. В исходных условиях p = 24× 10 – 100 – 40 – 25 = 75. После введения акциза p = 27× 8 – 100 – 32 – 16 = 68. Таким образом, прибыль уменьшилась на 7 ден. ед.

3. Сумма налога: (8× 7) = 56 ден. ед.

4. Теперь отраслевой спрос , а MR = 49, 5 – 3 Q. Максимум прибыли монополия получает при 11 + 0, 5 Q = 49, 5 – 3 Q Þ Q * = 11; P * = 33, то есть объем продаж возрос на 3 ед.

 

№ 11. Монополия может продавать продукцию на двух сегментах рынка с различной эластичностью спроса:

=160 – P _1; = 160– 2 P ₂. Ее функция общих затрат TC = 10 + 12 Q + 0, 5 Q ².

1. При каких ценах на каждом из сегментов рынка монополия получит максимум прибыли?

2*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов в случае запрета ценовой дискриминации?

3*. Сколько продукции продавала бы монополия на каждом из сегментов при запрете ценовой дискриминации, если бы ее затраты были в 2 раза меньше?

 

Решение

1. Условие максимизации прибыли при осуществлении ценовой дискриминации третьей степени следующее:

Оптимальные цены на сегментах рынка

P ₁ = 160 – 45, 6 = 114, 4; P ₂ = 80 – 0, 5× 11, 2 = 74, 4.

 

2. Для определения условий достижения максимума прибыли при запрете ценовой дискриминации выведем функцию суммарного спроса:

Соответственно,

 

В этом случае линия MC = 12 + Q пересекает MR в интервале 0 < Q £ 80; выпуск и цена определяются из равенства 160 – 2 Q = 12 + Q Þ Q ^* = 148/3; P ^* = 332/3. Таким образом, в случае запрещения ценовой дискриминации на втором сегменте рынка продукция продаваться не будет.

3. Теперь кривая предельных затрат MC = 6 + 0, 5 Q пересекает ломаную MR два раза:

160 – 2 Q = 6 + 0, 5 Q Þ Q ^* = 61, 6; P ^* = 98, 4; p = 98, 4× 61, 6 – 5 – 6× 61, 6 – 0, 5× 61, 6² = 3789, 56;

320/3 – 2 Q /3 = 6 + 0, 5 Q Þ Q ^* = 86, 3; P ^* = 77, 9; p = 77, 9× 86, 3 – 5 – 6× 86, 3 – 0, 5× 86, 3² = 2476, 13.

Следовательно, на втором сегменте рынка продукция опять продаваться не будет.

Рис. 4.1. Ценовая дискриминация третьей степени

 

№ 12*. Спрос на продукцию отображается функцией Q^D = 140 – 4 P. Общие затраты на ее производство типичной фирмы: TC = 100 + 10 Q + Q ². Продукция продается на рынке совершенной конкуренции в длительном периоде. Во сколько раз должны снизиться переменные затраты, чтобы при переходе от совершенной конкуренции к монополии цена не изменилась?

 

Решение

В длительном периоде при совершенной конкуренции цена установится на уровне минимума средних затрат. Поскольку:

, то . Значит, каждая фирма-конкурент будет выпускать 10 единиц продукции, АС = Р = 30. При такой цене объем рыночного спроса равен 20 ед. Монополия, максимизирующая прибыль, выберет сочетание Р = 30; Q = 20, если при этом предельная выручка равна предельным затратам. Поскольку MR = 35 – 0, 5× 20 = 25, то производная от переменных затрат тоже должна быть равна 25: (10 + 2× 20)/ x = 25 ® x = 2; следовательно, переменные затраты должны быть в 2 раза ниже, то есть общие затраты TC = 100 + 5 Q + 0, 5 Q ²

№ 13. В данный момент спрос на продукцию монополистического конкурента отображается функцией , а общие затраты – .

Изменение числа конкурентов в отрасли смещает кривую спроса на продукцию фирмы без изменения ее наклона. Насколько сократится выпуск данной фирмы в состоянии длительного равновесия по сравнению с текущим моментом?

 

Решение

Цена в исходных условиях выводится из равенства MR = MC: 220 – 8 Q = 40 + Q ® Q = 20; P = 140.

В длительном периоде линия отраслевого спроса станет касательной к кривой средних затрат (АС = Р) и сохранится равенство MR = MC. Из системы этих двух равенств определяются запретительная цена длительного периода (обозначим ее x) и выпуск:

 

Следовательно, выпуск фирмы сократится вдвое.

 

Q

MR 0

MR 1

D 1

D 0

MC

P

AC

Рис. 4.2 Монополистический конкурент в коротком

и длительном периодах

№14. Монополистический конкурент с функцией общих затрат TC = 80 + 5 Q в состоянии длительного равновесия продает свой товар по цене 13 ден. ед. Определите эластичность спроса по цене и излишки покупателей данного товара, если функция спроса линейна.

 

Решение:

 

Для монополистического конкурента в длительном периоде должны выполняться два условия: MR = MC (1) и P = AC (2).

1) Из первого условия и соотношения MR = P(1 + 1/ e^D) получаем 5 = 13(1 + 1/ e^D). Отсюда находим эластичность спроса e^D = -1, 625.

2) Из второго условия получаем 13 = 80/Q + 5, откуда получаем объем продаж на рынке Q = 10.

3) Если функция спроса линейна Q^D = a – bP, то параметры “a” и “b” находятся из соотношений: a = Q*(1 - e^D) = 10(1 + 1, 625) = 26, 25; b = - e^D*Q/P = 1, 625*10/13. Восстановив функцию спроса, излишки покупателя находятся графически.

Ответ: e^D = -1, 625; R_пок=40.

 

№ 15. Отраслевой спрос задан функцией P = 50 – 0, 25 Q; в отрасли работают две максимизирующие прибыль фирмы I иII со следующими функциями затрат: TC _I = 10 + 0, 15 q² _I и TC _II= 25 + 10 q _II. Какая установится цена в соответствии с: а) моделью Курно; б) моделью Штакельберга; в) картельным соглашением?

 

Решение

а) Выведем уравнение реакции для фирмы I. Ее прибыль p_I = 50 q _I – 0, 25 q² _I – 0, 25 q _I q _II – 10 – 0, 15 q² _I достигает максимума при 50 – 0, 8 q _I – 0, 25 q _II = 0. Поэтому уравнение реакции фирмы I имеет следующий вид:

q _I = 62, 5 – 0, 3125 q _II.

Прибыль фирмы II p_II = 50 q _II – 0, 25 q² _II – 0, 25 q _I q _II – 25 – 10 q _II и достигает максимума при 40 – 0, 25 q _I – 0, 5 q _II = 0. Отсюда выводится ее уравнение реакции: q _II = 80 – 0, 5 q _I.

Если фирмы ведут себя как равноправные конкуренты, то равновесные значения цены и объемов предложения определятся из следующей системы уравнений:

 

 

В состоянии равновесия прибыли фирм соответственно будут:

 

p_I = 24, 5× 44, 44 – 10 – 0, 15× 44, 44² = 780, 4;

p_II = 24, 5× 57, 78 – 25 – 10× 57, 78 = 809, 9;

 

 

б) пусть фирма I выступает в роли лидера, а фирма II –последователя. Тогда прибыль фирмы Iс учетом уравнения реакции фирмы II будет:

 

p_I = 50 q _I – 0, 25 q² _I – 0, 25 q _I(80 – 0, 5 q _I) – 10 – 0, 15 q² _I = 30 q _I – 0, 275 q² _I – 10.

 

Она достигает максимума при 30 – 0, 55 q _I = 0. Отсюда

 

q _I= 54, 54; q _II = 80 – 0, 5× 54, 54 = 52, 7;

P = 50 – 0, 25(54, 54 + 52, 7) = 23, 2;

p_I = 23, 2× 54, 54 – 10 – 0, 15× 54, 54² = 809;

p_II = 23, 2× 52, 7 – 25 – 527 = 529.

 

Таким образом, в результате пассивного поведения фирмы II ее прибыль снизилась, а фирмы I - возросла.

В случае лидерства фирмы II ее прибыль

p_II = 50 q _II – 0, 25 q² _II – 0, 25 q _II(62, 5 – 0, 3125 q _II) – 25 – 10 q _II = 24, 4 q _II – 0, 17 q² _II – 25

становится максимальной при 24, 4 – 0, 34 q _II = 0 Þ q _II = 70, 9. Тогда

 

q _I = 62, 5 – 0, 3125× 70, 9 = 40, 3;

P = 50 – 0, 25(40, 3 + 70, 9) = 22, 2;

p_I = 22, 2× 40, 3 – 10 – 0, 15× 40, 3² = 641;

p_II = 22, 2× 70, 9 – 25 – 709 = 840;

 

в) прибыль картеля определяется по формуле:

p_к = (50 –0, 25 q _I – 0, 25 q _II)× (q _I + q _II)– 10 – 0, 15 q ²_I – 25 – 10 q _II =

= 50 q _I – 0, 4 q² _I – 0, 5 q _I q _II + 40 q _II– 0, 25 q ²_II – 35.

 

Она принимает максимальное значение при

Решив эту систему уравнений найдем:

q _I = 33, 3; q _II = 46, 7; Q = 80; P = 30; p_I = 823; p_II = 908.

Рис. 4.3. Зависимость конъюнктуры рынка от типа

поведения дуополистов

 

№ 16. В отрасли функционируют 80 мелких фирм с одинаковыми функциями затрат TC_i = 2 + 8 и еще одна крупная фирма, выступающая в роли лидера, с функцией затрат TC _л = 20 + 0, 275 . Отраслевой спрос представлен функцией Q^D = 256 – 3 P. Какая цена сложится на рынке и как он будет поделен между лидером и аутсайдерами?

 

Решение

Поскольку для аутсайдеров цена является экзогенным параметром, то условием максимизации прибыли для них служит равенство MC_i = P. Выведем из него функцию предложения отдельного аутсайдера: 16 q_i = P Þ = P /16. Тогда суммарная функция предложения аутсайдеров = 80 P /16 = 5 P. Теперь определим функцию спроса на продукцию лидера как разность между отраслевым спросом и предложением аутсайдеров: = Q^D – = 256 – 3 P – 5 P = 256 – 8 P. В соответствии с этой функцией, предельная выручка MR _л = 32 – 0, 25 Q _л. Прибыль лидера максимальна при MR _л = MC_л:

32 – 0, 25 Q _л = 0, 55 Q _л Þ Q _л = 40; P = 32 – 0, 125× 40 = 27.

По такой цене аутсайдеры предложат 5× 27 = 135 ед. продукции. Объем спроса составит (256 – 3× 27) = 175; таким образом, 22, 8% спроса удовлетворит лидер и 77, 2% – аутсайдеры.

 

 

Рис. 4.4. Ценообразование за лидером

№17. Рыночный спрос отображается функцией Q^D = 90 – 2 P. Товар на рынке продают одна крупная фирма, выступающая в роли ценового лидера, и несколько мелких фирм, совокупное предложение которых отображается функцией Q_a^S = –10 + 2 P.

Определите цену на рынке, совокупный объем предложения аутсайдеров и излишек покупателей, если крупная фирма захочет максимизировать свою выручку?

 

Решение:

 

1) Функция спроса на продукцию лидера определяется как разность между отраслевым спросом и совокупным предложением аутсайдеров: Q_Л^D = Q^D – Q_а^S = (90 – 2P) – (-10 + 2P) = 100 – 4P. Следовательно, функция предельного дохода лидера выглядит MR_Л = 25 – q_Л/2. По условию максимизации выручки лидера 25 – q_Л/2 = 0 находим объем продаж лидера q_Л = 50. Лидер, как монополист на своей доле рынка, установит цену в соответствии с функцией спроса на свою продукцию: P = 25 – 50/4 = 12, 5. Для аутсайдеров полученная цена – внешне заданная; ориентируясь на неё, они предложат Q_a^S = - 10 + 2*12, 5 = 15 ед. продукции.

2) Общий объем продаж на рынке Q^D = 50 + 15 = 65 ед. Излишки покупателя находятся графически в соответствии с отраслевой функцией спроса.

Ответ: P=12, 5; Q_a^S =15; R_пок=1056, 25.

 

№18. На рынке с отраслевым спросом Q^D = 100 – 2 P установилась монопольная цена вследствие того, что продавцы образовали картель с общими затратами TC = 72 + 4 Q. После того как руководству картеля стало известно, что еще одна фирма с такими же общими затратами намеревается войти в отрасль, картель решил снизить цену настолько, чтобы у потенциального конкурента исчезло желание входить в отрасль.

1. Какую максимальную цену может установить картель в этой ситуации?

2. Какой минимальной суммой прибыли придется поступиться картелю?

 

Решение

 

1. Искомая цена должна быть такой, чтобы остаточный спрос (неудовлетворенная часть рыночного спроса) оказался ниже кривой средних затрат (P^D _ост £ AC). Для этого к кривой средних затрат нужно провести касательную, параллельную линии рыночного спроса. Поскольку касательная имеет общую точку с кривой AC и в точке касания наклон обоих линий одинаковый, то искомая цена определяется из решения системы уравнений

 

.

 

Функция остаточного спроса Q^D = 32 – 2 P лежит ниже кривой АС.

2. Определим прибыль картеля до появления угрозы потенциального конкурента:

50 – Q = 4 ® Q = 46; Р = 27; p = 27× 46 – 72 – 4× 46 = 986

и при лимитной цене: 16× 68 – 72 – 4× 68 = 744; следовательно, Dp = 242.

Рис. 4.5. Лимитная цена картеля

 

 

№ 19*. В регионе имеется единственное овощехранилище, закупающее картофель у 50 фермеров, выращивающих картофель с одинаковыми затратами TC_i = 5 + 0, 25 q ² _i, где q_i – количество выращенного картофеля i -м фермером. Хранилище сортирует и фасует картофель по технологии, отображаемой производственной функцией Q_f = 16 Q ^{0, 5}, где Q_f – количество расфасованного картофеля; Q = S q_i – количество закупленного картофеля. Определите закупочную цену картофеля при стремлении овощехранилища к максимуму прибыли, если: а) оно может продавать любое количество картофеля по фиксированной цене P_f = 20; б) спрос на фасованный картофель отображается функцией .

 

Решение

а) Чтобы получить функцию затрат овощехранилища, нужно вывести функцию цены предложения картофеля. Функция предложения каждого фермера . Следовательно, рыночное предложение Q^S = 100 P, соответственно P^S = Q/ 100. Тогда общие затраты TC_xp = 0, 01 Q ², а прибыль p _хр = 20× 16 Q ^{0, 5} – 0, 01 Q ². Она достигает максимума при Q = 400. Такое количество картофеля можно закупить по цене P^S = 400 / 100 = 4;

б) определим выручку и прибыль овощехранилища:

P_f Q_f = (42 – 0, 1 Q_f) Q_f = (42 – 0, 1× 16 Q ^{0, 5})× 16 Q ^{0, 5}.

p _хр = (42 – 0, 1× 16 Q ^{0, 5})× 16 Q ^{0, 5} – 0, 01 Q ².

Прибыль достигает максимума при Q = 140. Цена предложения такого количества P^S = 140 / 100 = 1, 4.

 

Q

S

P× MP

MR× MP

P

MC монопс.

Рис. 4.6. Цена монопсонии

 

№20*. В городе имеется единственный молокозавод, закупающий молоко у двух групп фермеров, различающихся затратами на литр молока стандартной жирности: и , где q_i – количество молока произведенного одним фермером i –й группы. В первой группе 30 фермеров, во второй – 20. Молокозавод обрабатывает молоко по технологии, отображаемой производственной функцией Q_u = 8 Q ^{0, 5}, где Q_u – количество пакетов молока; Q = S q_i – количество закупленного молока, и может продавать любое количество молока по фиксированной цене P_u = 10. При закупке сырья молокозавод может проводить ценовую дискриминацию.

1. По какой цене молокозавод должен закупать молоко у каждой группы фермеров для максимизации своей прибыли?

2. Какую цену установил бы молокозавод, если бы нельзя было проводить ценовую дискриминацию?

 

Решение

1. Выведем функции предложения каждой группы фермеров; эти функции для молокозавода являются функциями средних затрат при закупке молока у соответствующей группы фермеров:

Прибыль завода есть разность между выручкой и общими затратами:

Она достигает максимума при:

 

 

У первой группы фермеров такое количество молока можно купить по цене 2 + 60/60 = 3, а у второй – по 40/20 = 2 ден. ед.

 

Рис. 4.7. Ценовая дискриминация монопсонии

 

2. В этом случае функция предложения молока имеет вид:

.

Соответственно функция цены предложения (функция средних затрат завода): . Прибыль завода:

Она достигает максимума при

.

Такое количество молока можно купить за 1, 5 + 100/80 = 2, 75 ден. ед. По такой цене первая группа фермеров предложит 55, а вторая – 45 литров.

 

Рис. 4.8. Единая цена монопсонии на двух сегментах рынка

 

№ 21. Известны функция спроса на продукцию монополистического конкурента Q_A = 30 – 5P_A + 2 P_B и функция затрат TC_A = 24 +3Q_A. Определить цены двух благ после установления отраслевого равновесия в длительном периоде.

 

Решение

Поскольку рынок монополистической конкуренции в длительном периоде, то равновесие фирмы будет характеризоваться равенствами: AC_A = P_A, MC_A = MR_A. Тогда:

Решив систему уравнений получаем: Q_A = 10, 95; AC_A = 5, 19; P_A = 5, 19; P_B = 3, 45.

 

№ 22.* Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Р = 24 –1, 5 Q. Общие затраты монополии ТС = 50 + 0, 3 Q ². Определить максимально возможный объем прибыли монополии при продаже всей продукции по единой цене и при продаже выпуска партиями, первая из которых содержит 3 шт.

 

Решение

Если бы ценовой дискриминации 2-й степени не существовало бы, то условие максимизации прибыли имело вид: 24 – 3 Q = 0, 6 Q. Тогда Q^* = 20/3; P^* = 14; π = 30.

При ценовой дискриминации нужно помнить, что условие максимизации прибыли приобретает вид: MR₁ = P₂, MR₂ = P₃, …, MR_n = MC. Первые 3 ед. можно продавать по цене P₁ = 24 – 1, 5× 3 = 19, 5. Так как MR₁ = 24 – 3 Q₁, то при Q = 3, значение MR₁ = 15. Следовательно, вторую партию, еще 3 ед., можно продать по цене P₂ = 15.

Для определения MR₂ необходимо учитывать сокращение спроса – укорочение линии функции спроса: P₂ = 24 – 1, 5(Q – 3); MR₂ = 28, 5 – 3 Q, при Q = 6 величина MR₂ = 10, 5. Это означает, что третью партию нужно продавать по цене 10, 5.

Найдем функцию MR₃. Для этого необходимо определить новую функцию спроса: P₂ = 24 – 1, 5(Q – 6); MR₂ = 33 – 3 Q. При Q = 9, величина MR₃ = 6. Но 4-ю партию нужно продавать не по цене 6. Это связано с тем, что точка Курно (пересечение функций MC и MR₄) расположена выше. Определим координаты точки Курно из равенства: 37, 5 – 3 Q = 0, 6 Q. Отсюда Q = 10, 4. Этому выпуску соответствует цена 24 – 1, 5× 10, 4 = 8, 4. Следовательно, размер 4-й партии 1, 4 ед., а цена P₂ = 8, 4. Прибыль фирмы составит:

π = 3× (19, 5 + 15 + 10, 5) + 8, 4 × 1, 4 – 50 – 0, 3× 10, 4² = 64, 3.

№ 23.* На рынке действуют 5 фирм, данные об объемах продаж, ценах и предельных затратах приведены в таблице.

Фирма	Объем продаж, тыс. шт	Предельные затраты, тыс. долл.
А		1, 0
Б		1, 5
В		2, 0
Г		2, 5
Д		3, 0

Цена товара 8 тыс. долл. Определить коэффициента бета и эластичность спроса по цене.

 

Решение

При решении задачи следует учесть, что индекс Лернера для фирмы (L_i), который вычисляется как L_i = (P – MC)/ P, в соответствии с моделью связан линейной зависимостью с рыночной долей y_i: L_i = a +by_i.

 

Дополнительные расчеты сведем в таблицу.

Фирма	Q	MC	yi	yi2	Li	Li × yi
А		1, 0	0, 490	0, 24	0, 875	0, 429
Б		1, 5	0, 196	0, 04	0, 812	0, 159
В		2, 0	0, 176	0, 03	0, 75	0, 132
Г		2, 5	0, 078	0, 006	0, 688	0, 054
Д		3, 0	0, 058	0, 003	0, 625	0, 036
Cумма		X	0, 998	0, 319	3, 75	0, 81

 

Для нахождения линейной зависимости между индексом Лернера и долей рынка в соответствии с методом наименьших квадратов необходимо составить систему их двух уравнений:

.

В условиях примера система уравнений примет вид:

.

Решив систему, находим, что a = 0, 65; b = 0, 5. Следовательно, β = 0, 65/(0, 65 + 0, 5) = 0, 56.

Эластичность спроса по рынку определяется по формуле: e = HH/L_ср, где HH – индекс Герфиндаля-Хиршмана, а L_ср – средний индекс Лернера для отрасли. e = 0, 319/(3, 75: 5) = 0, 425.

 

№ 24.* Длина города равна 35 км. Магазин первого дуополиста расположен в точке А на расстоянии 4 км от левого конца города (точка М). Магазин второго – в точке В на расстоянии 1 км от правого конца города. Стоимость перевозки равно 1 ден. ед. на км. Дуополисты максимизируют выручку. Потребители проживают равномерно по всей длине города. Найти расположение точки Е, в которой проживает потребитель, затраты которого на покупку единицы товара (включающие транспортные расходы) одинаковы для обоих магазинов.

 

Решение

Найдем расположение точки Е, в которой находится потребитель и где затраты на покупку единицы товара, включая транспортные расходы, одинаковы для обоих магазинов. Если через x и y обозначить расстояния от безразличного покупателя до первого и второго магазина соответственно, то условие безразличия примет вид: P₁ + x = P₂ + y и, кроме того: 4 + 1 + x + y = 35. Решив совместно эти два уравнения относительно x и y, получим:

x = 15 + 0, 5(P₁ – P₂), y = 15 – 0, 5(P₂ – P₁).

Обозначим объем продаж каждого дуополиста через Q₁ и Q₂. Тогда: Q₁ = x + 4и Q₂ = y + 1. Выручка первого равна: TR₁ = P₁Q₁ = 19 P ₁ + 0, 5 P₁P ₂ – 0, 5 P₂ ². Она достигает максимума, когда

P₁ – 0, 5 P₂ – 19 = 0. (1)

Аналогично для второй фирмы, составив функцию выручки и взяв производную по P₂ получаем:

 

–0, 5 P₁ + P₂ – 16 = 0. (2)

Решив систему уравнений (1) и (2) находим цены: P₁ = 36; P₂ = 34. Тогда легко найти x и y: x = 15 + 0, 5× 2 = 16 км, y = 15 – 0, 5× 2 = 14 км.

 

Вопросы для обсуждения

1. Сравнение рынка