Задание 2. 1. Провести уточнение корней методом половинного деления

1. Провести уточнение корней методом половинного деления.

В качестве начального приближения выберем , затем исследуем функцию на концах отрезков и . Выбирается тот отрезок, у которого значение функции на концах имеет противоположные знаки. Процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится условие . Точность принять равной

2. Сделать уточнение корней методом простой итерации.

Пусть корни отделены и содержит единственный корень. Уравнение (1.1) приведем к итерационному виду:

(1.2)

где функция дифференцируема на и для любого . Функцию можно подобрать в виде

(1.3)

где находится из условия , для .

Последнее условие гарантирует сходимость итерационной последовательности к корню . Условием окончания счета будем считать выполнение неравенства

(1.4)

3. Сделать уточнение корней методом хорд или касательных (X, K в таблице 1.1) с заданной точностью .

Расчетная формула для метода хорд:

,

для метода касательных:

,

Значение для метода хорд и начальная точка для метода касательных выбирается из условия выполнения неравенства .

В результате вычислений по этим формулам может быть получена последовательность приближенных значений корня . Процесс вычислений заканчивается при выполнении условия < (). В каждом случае вывести на печать количество итераций, необходимых для достижения заданной точности.

ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ НА Maple

Отделяем корни графически

> y(x): =exp(-x)-0.5;

> plot(y(x), x=-1..3);

Решение с использованием команды solve

> solve(y(x), x);

Рассмотрим процедуру, в рамках которой вычисление корней уравнения вида f(x) = 0 осуществляется методом половинного деления интервала. Ниже приведен код процедуры DoublDiv), согласно которой находятся корни выражения ff. Переменная, относительно которой ищутся корни, а также интервал определяются равенством xint. Погрешность задается параметром epsilon.

> DoublDiv: =proc(ff, xint, epsilon)

> local x, a, b, c, f, i;

> x: =lhs(xint);

> a: =op(rhs(xint))[1];

> b: =op(rhs(xint))[2];

> f: =unapply(evalf(ff), x);

> if f(a)*f(b)> 0 then print(" Неверное введенный интервал");

> else if f(a)*f(b)< 0 then

> while (abs(b-a)> epsilon and f(c)< > 0)

> do

> c: =(a+b)/2;

> if f(a)*f(c)> 0 then a: =c;

> else b: =c;

> end if;

> end do;

> else

> if f(a)=0 then c: =a;

> else c: =b;

> end if;

> end if;

> x=evalf(c);

> end if;

> end proc:

Основная часть кода данной процедуры нужна для отслеживания особых ситуаций, когда в процессе поиска решения на одном из этапов пробная точка случайно совпадает с корнем. Однако прежде выполняется ряд инициализаций. Так, локальная переменная х определяется как левая часть равенства xint, указанного параметром процедуры. Переменным а и b присваиваются в качестве значений левая и правая границы диапазона, на котором ищется корень. А переменная f определяется как функциональная зависимость, соответствующая выражению, для которого ищутся корни.

Ниже приведены результаты использования разработанной процедуры для выражения.

> F: =exp(-t)-0.5;

> DoublDiv(F, t=0..3, 0.000001);

Процедура для вычисления корней уравнения методом секущих может быть получена из процедуры вычисления корней методом половинного деления, если заменить оператор присваивания значения переменной с и условие проверки точности. В качестве верхней границы для точности результата может быть выбран модуль отношения значения функции в точке предполагаемого решения (в процедуре — это f (с)) и минимального значения для производной этой функции на рассматриваемом интервале (параметр М). Вот код для этой процедуры.

> khorda: =proc(ff, xint, epsilon, M)

> local x, a, b, c, f, i;

> x: =lhs(xint);

> a: =op(rhs(xint))[1];

> b: =op(rhs(xint))[2];

> f: =unapply(evalf(ff), x); c: =b-f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a));

> if f(a)*f(b)> 0 then print(" Неверное введенный интервал");

> else if f(a)*f(b)< 0 then

> while (abs(f(c)/M)> epsilon and f(c)< > 0)

> do

> if f(a)*f(c)> 0 then a: =c;

> else b: =c;

> end if; c: =b-f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a));

> end do;

> else

> if f(a)=0 then c: =a;

> else c: =b;

> end if;

> end if;

> x=evalf(c);

> end if;

> end proc:

> F1: =exp(-t)-0.5;

Теперь воспользуемся процедурой khorda(), предварительно оценив, что производная для Fl(x) по абсолютной величине меньше ехр(-3) на рассматриваемом интервале быть не может. Эту величину, преобразованную в формат числа с плавающей точкой, и указываем последним параметром процедуры khorda().

> khorda(F1, t=0..3, 0.000001, evalf(exp(-3)));

Как видим, результаты в пределах погрешности полностью совпадают.