Теоретическое введение. Моментом инерции I материальной точки относительно оси вращения называется скалярная величина равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси

Моментом инерции I материальной точки относительно оси вращения называется скалярная величина равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния от оси вращения.

. /1/

Моментом инерции системы материальных точек относительно некоторой оси называется величина равная , где - момент инерции отдельной материальной точки относительно той же оси.

Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, взаимное расположение которых не изменяется ни при каких условиях. Поэтому момент инерции твердого тела может быть определен как величина равная сумме моментов инерции материальных точек

. /2/

Для определения момента инерции твердого тела относительно некоторой оси, не проходящей через центр масс, используется теорема Гюйгенса – Штейнера

, /3/

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,

m – масса тела,

d- расстояние между осями (рис. 4.1).

Одним из наиболее простых методов определения момента инерции твердого тела является метод физического маятника.

Физическим маятником называется твердое тело способное совершать колебания относительно оси, не проходящей через центр масс (рис. 4.2).

При отклонении маятника от положения равновесия на угол , возникает вращающий момент

, /4/

стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения

. /5/

В теории принято рассматривать так называемые малые колебания, при которых можно считать, что . Тогда учитывая, что уравнение можно переписать в виде

. /6/

Введя обозначение

, /7/

получим дифференциальное уравнение

, /8/

которое описывает гармонические колебания с частотой . Так как , то для периода колебаний физического маятника можно получить

. /9/

Это решение для уравнения /8 /является точным, но годится лишь для малых амплитуд.

В данной работе проводится экспериментальная проверка соотношения для физического маятника, имеющего форму стержня. Стержень может колебаться относительно горизонтальной оси (рис. 4.2.).

Момент инерции I стержня длиной L и массой m, относительно оси О может быть найден с помощью теоремы Штейнера.

, /10/

где - момент инерции стержня относительно оси проходящей через центр масс.

Тогда для периода колебаний стержня можно получить

. /11/

Введя обозначения и , окончательно получим

. /12/

Величина имеет размерность времени. Она совпадает с периодом колебаний математического маятника длиной L. Безразмерная величина характеризует положение оси вращения относительно центра масс стержня.

В этой работе необходимо изучить зависимость периода колебаний тонкого однородного стержня от расстояния d от оси подвеса до центра масс.

Результаты измерений удобно изобразить графически на координатной плоскости () и сравнить их с зависимостью, предсказываемой формулой. Для тонкого стержня любой длины, записанная в безразмерных переменных (x, y) зависимость периода малых колебаний от положения точки подвеса имеет вид

. /13/

График этой зависимости необходимо построить по точкам, рассчитав для 10 значений x, в пределах от 0, 05 до 0, 5 и сравнить их с экспериментальными данными.