Теоретическое введение. При соударении тел силы взаимодействия довольно резко изменяются с расстоянием между центрами масс взаимодействующих тел

При соударении тел силы взаимодействия довольно резко изменяются с расстоянием между центрами масс взаимодействующих тел, и весь процесс взаимодействия протекает в очень малом пространстве и в очень малый промежуток времени. Такое взаимодействие получило название удара.

Различают два вида ударов – абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютная упругость и неупругость, а значит и классификация ударов по этому признаку, являются идеализацией. На самом деле, всякий удар тел, является, строго говоря, смешанным. Однако, в одних случаях его с известным приближением можно считать абсолютно упругим, а в другом – абсолютно неупругим.

Процесс взаимодействия неупругих тел протекает следующим образом. Как только тела приходят в соприкосновение, начинается их деформация, в результате которой возникает сила сопротивления (вязкое трение), пропорционаная относительной скорости движения тел - .

По мере уменьшения относительной скорости тел, деформация и сила сопротивления убывают и обращаются в нуль при . По второму закону Ньютона

, /1/

где - масса тела,

k – коэффициент пропорциональности.

Учитывая, что

/2/

а ускорение тела

/3/

получим дифференциальное уравнение движения тела при ударе

/4/

Здесь «х» величина деформации.

Подстановка /3/ в уравнение /4/ приводит к уравнению

/5/

Разделив переменные и интегрируя, получим:

, /6/

где - постоянная интегрирования.

Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся начальными условиями: при . Подставляя в /6/, получим , т.е. постоянная интегрирования равна начальной скорости тела перед ударом. Тогда

. /7/

С учетом /2/ выражение /7/ можно привести к виду

. /8/

Интегрируя это выражение, найдем, что

. /9/

Из начальных условий (при ) найдем, что постоянная интегрирования и тогда

. /10/

Поскольку выражение /10/ представляет экспоненциальную зависимость, а реальное взаимодействие протекает за конечное время, то за продолжительность удара, в первом приближении, принимается то время , в течение которого сила взаимодействия уменьшается в сто раз, т.е. . Разумность этого допущения легко проверить, вычислив работу сил сопротивления за это время следующим способом. Так как , то логарифмируя можно найти, что .

Работа сил сопротивления

. /11/

Подстановка значения k в выражение /12/ дает после вычисления значение работы силы сопротивления, отличающуюся от кинетической энергии тела всего на одну сотую процента .

Движущееся тело небольшой массы при ударе о неподвижное массивное тело отскакивает от него, имея небольшую скорость. Это позволяет определить время удара контактным способом, считая в первом приближении, удар абсолютно неупругим.

Осуществить на опыте неупругий удар можно следующим образом: если свинцовый шар, подвешенный на длинной нити, отвести на некоторый угол и дать возможность ему двигаться, то при столкновении шара с массивным телом произойдет практически неупругий удар (рис. 7.1).

Работа, совершаемая силами сопротивления при одном ударе, равна убыли сообщенной шару при отклонении его на угол потенциальной энергии. Так как при движении шара потенциальная энергия переходит в кинетическую, то

, /12/

где - скорости шара непосредственно до и после удара

Из /11/ и /12/ нетрудно получить, что

. /13/

Убыль потенциальной энергии , отклоненного до точки А шара, равна приросту его кинетической энергии перед уларом. По закону сохранения энергии, с учетом того, что в точке А скорость шара равна нулю, получим

. /14/

Из рисунка видно, что и тогда и /14/ можно найти выражение для скорости шара

. /15/

Измеряя величины , на которые отклоняется шар до и после удара, по формуле /15/ можно определить скорости шара до и после удара, а по формуле /13/ определить коэффициент сопротивления k.

Принимая время взаимодействия за продолжительность удара после подстановки /13/ в /10/ получим максимальную деформацию

. /16/