Система без потерь

Имеется одноканальная двухфазная система массового обслуживания без потерь, состоящая из двух приборов разной производительности (рис. 3). Время обслуживания приборами заявок подчинено показательному закону распределения с параметрами и соответственно для первого и второго приборов. Поступившее в систему требование вначале обслуживается первым прибором. Если он уже занят, то требование ожидает своей очереди до тех пор, пока все ранее пришедшие требования не будут обслужены. После обслуживания первым прибором требования поступают на второй прибор. Так же как и в первом приборе, они поступают на обслуживание, если второй прибор свободен. Если прибор занят, то требование становится в очередь и ждет, пока прибор освободится.

Входной поток заявок пуассоновский с интенсивностью .

Рисунок 3 – Структурная схема системы без потерь

 

Граф переходов у этой системы может быть бесконечным. На рис. 4 показаны наиболее важные фрагменты графа, по которым можно написать уравнения состояний системы

...

...

...

...

где Р ₀₀ – вероятность того, что оба прибора свободны;

Р _{n1, n2}—вероятность состояния системы, при котором в первой фазе находится n ₁ заявок, а во второй фазе – n ₂ заявок (включая и те, которые уже обслуживаются).

Решение системы этих уравнений в общем виде достаточно сложно, поэтому попытаемся получить его путем следующих рассуждений.

Так как потерь нет ни в первой, ни во второй фазе, то относительные пропускные способности фаз равны 1:

q ₁ = 1 и q ₂ = 1.

Поэтому абсолютные пропускные способности фаз равны

(A ₁ – это интенсивность заявок на входе второй фазы).

.

Следовательно, обе фазы ведут себя как независимые однофазные системы без потерь с параметрами , и , , соответственно (см. лаб. работу №3).

Рисунок 4 – Фрагменты графа переходов системы без потерь

 

В таком случае для каждой фазы получаем

Здесь i – номер фазы, k – число заявок в фазе.

Для вероятностей различных состояний системы получаем:

§ Вероятность того, что оба прибора (обе фазы) свободны от заявок

§ Вероятность того, что в первой фазе находится i заявок, а во второй j заявок

.

§ Математическое ожидание числа заявок, находящихся на обработке

§ Математическое ожидание числа заявок, находящихся в очередях

.

§ Математическое ожидание числа заявок, находящихся

– в фазе,

– в системе.

§ Среднее время ожидания в очереди

в очереди фазы.

§ Среднее время нахождения в фазе

§ Среднее время нахождения в системе

.