Система с отказами

Имеется одноканальная двухфазная система массового обслуживания с отказами с разной производительностью приборов (рис. 1).

Рисунок 1 – Структурная схема системы с отказами

 

Обозначим состояния системы:

S ₀₀ – первый и второй приборы свободны от обслуживания;

S ₁₀ – первый прибор занят обслуживанием, второй свободен;

S ₀₁ – первый прибор свободен, второй занят обслуживанием;

S ₁₁ – оба прибора заняты обслуживанием.

Граф переходов системы показан на рис. 2.

Рисунок 2 – Граф переходов системы с отказами

 

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение вероятностей состояний системы, получается такой

В стационарном режиме вероятности состояний системы постоянны, поэтому их производные равны нулю и система дифференциальных уравнений превращается в систему линейных алгебраических уравнений

к которым надо добавить нормировочное уравнение

Решение этой системы алгебраических уравнений проведем следующим образом.

Прежде всего, упростим систему. Для этого из первого уравнения найдем P ₀₀ и подставим полученное выражение во второе и последнее уравнения.

Получаем

(1)

(исключаем),

Замечаем, неизвестных 3, а уравнений 4, следовательно, одно уравнение можно исключить. Последнее нормировочное уравнение исключать нельзя, поэтому исключим второе уравнение, как наиболее сложное. Запишем систему уравнений в упорядоченном виде

Решение будем искать по правилу Крамера (через определители)

Здесь определитель системы

= – ,

определитель для P ₁₀

= ,

определитель для P ₀₁

= ,

определитель для P ₁₁

= .

Таким образом, получаем

§ Вероятность того, что занят обслуживанием только первый прибор

.

§ Вероятность того, что занят обслуживанием только второй прибор

.

§ Вероятность того, что заняты оба прибора

.

§ Вероятность того, что все приборы свободны от обслуживания, найдем из уравнения (1)

= .

Определим относительную и абсолютную пропускные способности системы.

Первый прибор отказывает заявке в обслуживании, если он занят обслуживанием другой заявки, а занят он в состояниях S ₁₀ и S ₁₁, поэтому

q ₁ = 1 – (P ₁₀ + P ₁₁).

§ Абсолютная пропускная способность первого прибора равна

A ₁ = .

§ Абсолютная пропускная способность первого прибора есть интенсивность потока заявок, поступающих на второй прибор.

Второй прибор занят в состояниях S ₀₁ и S ₁₁, поэтому

q ₂ = 1 – (P ₀₁ + P ₁₁).

§ Абсолютная пропускная способность второго прибора и системы в целом равна

A ₂ = A ₁ q ₂ = q ₁ q ₂ = (1 – P ₁₀ – P ₁₁)(1 – P ₀₁ – P ₁₁).

Анализ этого выражения позволяет сделать вывод о том, что производительность системы не зависит от распределения приборов по фазам. (Производительность системы определяется произведением q ₁ q ₂.) Это означает, что пропускная способность системы определяется ее ”слабым звеном”. Если производительность одной из фаз очень мала по сравнению с другими, то эта фаза и будет определять пропускную способность системы.