Проверка гипотезы о некоррелированности остатков

Известно (см. §1.4 практиче­ской работы №1), что МНК-оценки параметров линейной регрессии в условиях классической нормальной линейной регрессионной модели являются эффективными в классе всех линейных оценок, состоятельными, не­смещенными и обладают другими хорошими свойствами. Однако для временных рядов требование независимости возму­щений не всегда выполняется. Поэтому после оценки тренда следует прове­рить гипотезу H ₀ об отсутствии автокорреляции остатков: если H ₀ отвергается, то качество тренда сомнительно.

В данном пособии рассматривается одно из самых популярных правил проверки гипотезы H ₀ – тест Дарбина-Уотсона. В соответствии с этим тестом вычисляется статистика:

. (42)

Можно доказать, что d =2(1- r), где r – выборочный коэффициент авто­корреляции ряда (см. Приложение). Так как -1≤ r ≤ 1, то 0≤ d ≤ 4. Значение d =0 (r =1) соответствует случаю сильной положительной автокорреляции остатков, значение d =2 (r =0) – отсутствию автокорреляции, d =4 (r =-1) – сильной отрица­тельной автокорреляции.

В статистических таблицах (см., например, [5, 8]) для различных значений числа наблюдений n и уровня значимости a приводятся пороговые значения статистики d: нижнее d_н и верхнее d _в, такие, что (см. рис. 5):

· При 0≤ d ≤ d_н гипотеза H ₀ отвергается (случай положительной автокорреляции).

· При 4- d _н ≤ d ≤ 4 H ₀ отвергается (случай отрицательной автокорреляции).

· При d _в ≤ d ≤ 4- d _в гипотеза H ₀ принимается.

·
При остальных значениях d суждение о справедливости H ₀ не выносится (d попадает в одну из двух зон неопределенности).