Метод скользящего среднего

Метод скользящего среднего (МСС) состоит в замене каждых k последовательных уровней ряда их средним значением. Величина k называется окном усреднения (сглаживания).

Если k нечетно (k= 2 l +1, где l- целое положительное число), то скользящее среднее u_t задается формулой:

.

Таким образом, среднее, вычисленное по k уровням ряда, приписывается к срединному моменту времени окна сглаживания. В приведенной выше формуле t = l +1, …, n - l. Следовательно, скользящее среднее не определено для l начальных и l конечных моментов времени.

Переход от наблюдений Y к скользящему среднему позволяет «сгладить» ряд и получить значения, более близкие к тренду. Действительно, если разброс значений y_t около тренда характеризуется дисперсией s², то разброс среднего по k уровням ряда будет характеризоваться существенно меньшей дисперсией (s²/ k – при независимости случайных величин Y (t)). Если ряд содержит цикли­ческую составляющую, то следует брать k равным ее периоду, чтобы отрица­тельные и положительные отклонения от тренда гасили друг друга.

Рассмотрим случай четного k (k= 2 l). Предположим, что вычислили сред­нее значение для 2 l моментов времени, начиная с t ₀: t ₀, t ₀+1, …, t ₀+ l -1, t ₀+ l, …, t ₀+2 l -1.Середина такого интервала находится между t ₀+ l -1 и t ₀+ l; поэтому непо­нятно, к какому моменту привязать значение скользящего среднего. Вы­ход со­стоит в следующем: приписываем среднее любому из этих моментов, напри­мер, меньшему – t ₀+ l -1, а затем полученный ряд еще раз сглаживаем с окном k ₁=2, так чтобы скользящее среднее было правильно привязано к центру окна. Эта процедура поясняется также на примере (см. §2.3.4).

Сравним два метода оценивания тренда: аналитический (см. §1.3) и МСС. Первое преимущество МСС состоит в том, что он не требует никаких предположений о характере зависимости T (t); вторым его достоинством явля­ется простота вычислений. Очевидный недостаток МСС состоит в отсутствии оценок тренда для первых и последних наблюдений. Кроме того, МСС дает только оценки тренда для моментов наблюдений, и не дает формулу зависимо­сти T (t).

Если ряд имеет циклическую компоненту, то ее значения можно вычис­лить после определения тренда. Пренебрегая случайными возмущениями, для аддитивной модели ряда из формулы (40) получаем:

S» Y - T, (43)

для мультипликативной модели из формулы (41) получаем:

S» Y / T. (44)

Полученные приближенные значения циклической составляющей далее обрабатываются следующим образом:

• усредняются по периодам (так как в идеале значения циклической составляющей от периода к периоду должны повторяться);
• выравниваются таким образом, чтобы среднее значение за цикл для аддитивной модели было равно 0, а для мультипликативной модели – 1.